第二类斯特林数
第二类斯特林数 \(n \brace m\) 表示 \(n\) 个元素放入 \(m\) 个集合(集合无标号,每个集合非空)的方案数
\({4\brace 2} = 8\)
\(\{1, 2\}\{3, 4\}, \{1\}\{2, 3, 4\}\)
\({n \brace m} = {n - 1 \brace m - 1} +m {n - 1\brace m}\)
\(O(n^2)\) 求出 \(i \brace j\) (\(1 \leq j \leq i \leq n\))
二项式反演
若 \(f_n=\sum_{i = 1}^n\binom{n}{i}(-1)^ig_i\)
则 \(g_n=\sum_{i = 1}^n\binom{n}{i}(-1)^if_i\)
若 \(f_n=\sum_{i = 1}^n\binom{n}{i}g_i\)
则 \(g_n=\sum_{i = 1}^n\binom{n}{i}(-1)^{n-i}f_i\)
\(m^n=\sum_{i=1}^m\binom{m}{i}{n \brace i}i!\)
\({n \brace m}=\frac{\sum_{i=1}^m\binom{m}{i}(-1)^{m-i}i^n}{m!}\)
\({n \brace m}=\sum_{i=1}^m\frac1{i!(m-i)!}(-1)^{m-i}i^n\)
\({n \brace m}=\sum_{i=1}^m\frac{(-1)^{m-i}}{(m-i)!}\frac{i^n}{i!}\)
\(A_i=\frac{(-1)^i}{i!},B_i=\frac{i^n}{i!}\)
\(A*B\) 求出 \({n\brace i}(1 \leq i \leq n)\)
斯特林数与上升幂/下降幂
上升幂 \(x^{\overline n}=\prod_{i=1}^n (x+i-1)\)
下降幂 \(x^{\underline n}=\prod_{i=1}^n (x-i+1)\)
\(x^n=\sum_{k=1}^n{n \brace k}x^{\underline k}\)
证明:\(x^{\underline n}\times (x-n) = x^{\underline {n + 1}}\),\(x^n=x^{n-1}\times x\)
若已知 \(x^{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}{{n - 1} \brace k}x^{\underline k}\)
则
CF932E Team Work
求 \(\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}i^k\),\(k \leq 10^6, n \leq 10^9\)。
求出 \(k \brace i\)(\(1 \leq i \leq k\)) 即可。
时间复杂度 \(O(k \log k)\)。
有 \(O(k)\) 的方法,过于复杂,读者可自行尝试。