从 古代猪文 到 noip 数论全家桶
古代猪文
前两天看机房里的巨佬都在卷这道题，说是数论全家桶，于是我决定追随大佬们的步伐，切掉这题！！！
然后从头 WA 到尾 ...
所以我在这里简要简述一下数论问题的各大坑点以及 noip 能考到的 数论全家桶。
先从 古代猪文 这题开始入手吧。
题意是：给定 \(n\) 和 \(G\) ， 求 \(G^{\sum_{d|n} C^d_n} \bmod 999911659\) 。\(n , G \leqslant 10^9\) 。
我们从外向内展开一下这个式子。
最外层相当于一个 \(G^k \bmod 999911659\) ，可以快速幂直接莽 ，复杂度 \(O(\log_2k)\) 。
中间一层是枚举 \(d\) ，复杂度为 \(O(\sqrt{n})\) ，可以接受。
但对于最内层的 \(\sum C_n^d\) ，有两个难点：
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\(\sum C_n^d\) 的值可能很大，甚至爆 \(ll\) ，无法直接计算。
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\(C^d_n\) 无法直接用常规数学方法计算。
我们考虑解决这两个问题：
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欧拉定理（在这题中等价于费马小定理），由于 \(p = 999911659\) 是一个质数，所以 \(G^k \bmod p = G ^ {k \bmod (p - 1)} \bmod p\) 。可以解决第一个难点。
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对于 \(C_n^d\) 的计算，我们这里只能使用 \(Lucas\) 定理。而原题给的 \((p - 1) = 999911658 = 2 \times 3 \times 4679 \times 35617\) ，我们可以将质数先拆开再用中国剩余定理合并。
总复杂度 \(O(\sqrt{n} \log n)\) 。
然后这题就被解决了。
不过这题我 WA 了三千七百万多次，原因有很多：
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阶乘得求到 \(35617+\) ，别求少了 && 别数组开小了。
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\(Luscas\) 边界
if(x == 0 || y == 0) return 1;别忘了判。 -
计算组合数时 \(n < m\) 时 答案为 0 。
