【数论】排列组合问题

排列

定义：

从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示

公式：

A(n,m)=n(n-1）*（n-2）*……*（n-m+1）= n!/(n-m)!

PS：此外规定0!=1

特殊排列：

• 不全相异元素的排列：

在n个元素中 n₁个元素彼此相同 有n₂个元素彼此相同......有n_m个元素彼此相同 并且n₁+n₂+...+n_m=n

其排列数公式为：n!/(n₁!*n₂!*...*n_m!)

【引例】把3个相同的黄球 2个相同的蓝球 4个相同的白球排成一排 有(3+2+4)!/(3!*2!*4!)=1260

• 圆排列

从n个数中取m个 不分首尾地排成一个圆圈的排列叫做圆排列 方案数为A(n,m)/m=n!/(m*(n-m)!)

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组合

定义：

从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示

公式：

C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(m!(n-m)!) 因为多出了一个全排列需要删去

可重复组合：从n个元素中 取出r个元素组成一个组合 且允许这r个重复使用 记为H(n,r)=C(n+r-1,r)

性质：

1. C(n,m)=C(n,n-m） 规定：C(n,0)=C(n,n)=1
2. C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m-1) 杨辉三角递推

二项式定理：

(a+b)ⁿ=Σⁿ_i=0C(n,i)a^(n-i)bⁱ

二项式系数：C(n,i) 运用杨辉三角

【例题】洛谷P1313 [NOIP2011TG]计算系数:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1313

题解链接：https://www.cnblogs.com/BrokenString/p/9665237.html

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Lucas定理

定义:

Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)

Lucas定理是用来求C(n,m) mod p的值,p是素数。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define LL long long
LL T,n,m,p;
LL quickpow(LL a,LL b)
{
    LL ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret=ret*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
LL C(LL n,LL m)
{
    if(m>n) return 0;
    LL a=1,b=1;
    for(LL i=n-m+1;i<=n;i++)
    a=a*i%p;//计算n!/(n-m)! 
    for(LL i=2;i<=m;i++)
    b=b*i%p;//计算1/m! 
    return a*quickpow(b,p-2)%p;//费马小定理求逆元 
}
LL Lucas(LL n,LL m)
{
    if(!m) return 1;
    else return (C(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p))%p;//递推公式 
}
int main()
{
    scanf("%lld",&T);
    while(T)
    {
        T--;
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
        printf("%lld\n",Lucas(n,m));
    }
}

 

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Catalan数列

定义：

给定n个0和n个1，它们按照某种顺序排成长度为2n的序列 满足任意前缀中0的个数都不少于1的个数的序列数量为：Cat_n=C(2n,n)/(n+1)

有关题目：

• n个左括号和n个右括号组成的合法括号序列数量为Cat_n
• 1,2...n经过一个栈 形成合法的出栈顺序数量为Cat_n
• n个节点构成的不同二叉树的数量为Cat_n
• 在平面直角坐标系上 每步只能向上或者向右走 从(0,0)到(n,n)并且除两个端点外不接触直线y=x的路线数量为2Cat_n
• 在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f(n)
• n层的阶梯切割为n个矩形的切法数

这里给出一个较为详细的dalao的blog:https://blog.csdn.net/duanruibupt/article/details/6869431

小技巧：

如果看到

n=1,answer=1;

n=2,answer=2;

n=3,answer=5;

n=4,answer=14;

n=5,answer=42;

基本可以往卡特兰数方面想..