CF edu 173 刷题笔记

$\mathtt{\text{A}}$

简单数学题。

图形画出来是一个满二叉树，所以数层数就好了，能除以多少个 $4$ 就有多少层，然后答案就是 $2$ 的这个次幂。

$\mathtt{\text{B}}$

考察整除的性质。

由于只需考虑 $1\sim 9$ 中的奇数，所以一个一个来看。

$1$ 肯定能被整除。

被 $3$ 整除的条件是所有数位上的数相加是 $3$ 的倍数，给定的数的数位和为 $d\cdot n!$，显然在 $n\ge 3$ 时一定包含因子 $3$，即此时一定能被 $3$ 整除。除此之外能整除的条件就是 $d$ 为 $3$ 的倍数。

被 $5$ 整除的数需要末尾为 $0$ 或 $5$，所以只有当 $d=5$ 时才行。

被 $7$ 整除的数需要将原数三位截断后奇偶段做差后也为 $7$ 的倍数。当 $n\ge 3$ 时这个差都是 $0$，一定整除；否则就只有 $d=7$ 时行。

被 $9$ 整除的条件和 $3$ 相似，所有数位上的数相加是 $9$ 的倍数，显然在 $n\ge 6$ 时一定包含因子 $9$，即此时一定能被 $9$ 整除。除此之外能整除的条件就是 $d$ 为 $9$ 或 $n\ge 3$ 且 $d$ 是 $3$ 的倍数。

if 语句写一下就行了。

$\mathtt{\text{C}}$

(在大佬 Hagasei 的悉心指导下会做了)

$\mathtt{\text{tip:}}$

他曾说：“对于序列上的数区间问题，无非就固定一个端点和分治，放在 $\mathtt{\text{C}}$ 题多半都是固定端点。”

同时还要注意题目条件的特殊性。

看到序列中除了一个位置 $a_i\in [-{10}^9,{10}^9]$，其他都是 $1$ 或 $-1$，那么不妨先考虑全为 $1$ 或 $-1$ 的情况。

题目要求所有的区间和的值域，在这样的序列上，假设我们已经找到了一个区间 $[l,r]$，那么将左端点或右端点移动一格，取值都只会变化 $+1$ 或 $-1$，所以这个值域一定是一个连续的整数段，也就是说中间是不可能出现断层的。既然如此，我们就找出上下界，说白了对原序列各求一遍最大子段和和最小子段和即可。

接着考虑有一个特殊值的情况。

这时候不妨分类讨论子段和的包含对象。分为两类：包含此特殊值的和不包含她的，最后答案取并集即可。不包含的上面已经考虑过了，所以现在只用考虑包含她的，也可以分为两部分，分别是在她左边和在她右边。和上面的分析相同，我们也要找包含她的最大/最小子段和，又有：

最大子段和 $=$ 左边最大后缀和 $+$ 右边最大前缀和；

最小子段和 $=$ 左边最小后缀和 $+$ 右边最小前缀和。

这样一来这道题就解决了。

$\mathtt{\text{D}}$

一道神奇的题目。

看到题的一瞬间就想到令 $A=\lambda G,b=\mu G,A<B$，那么即求最大的 $\mu -\lambda$ 且 $\lambda \perp \mu$。

暴力地思考，找到 $\lambda ,\mu$ 的取值范围，然后猜想取最大值时 $\lambda$ 距离左端点不会太远，暴力枚举 $100$ 次，结果就这样过了……

（实际上复杂度是对的，直接暴力做也能过）

证明还是看题解吧