NOIP 膜你赛做题记录

\(\texttt{Day 1 T1}\)

题目大意：

定义 \(f(x)\) 表示正整数 \(x\) 在十进制下的数位和，如 \(f(114514)=1+1+4+5+1+4=16\)。

现在小 \(C\) 有个好数集合 \(S\)，他给出三个正整数 \(n,x,k\)，并告诉小 \(D\) 这个集合的性质：

\(x\in S\)。
如果正整数 \(y\) 满足 \(y\le n,y−f(y)\times k\in S\)，则 \(y\in S\)。
如果正整数 \(y\) 满足 \(y\le n\)，且存在正整数 \(c>1\)
满足 \(y^c\in S\)，则 \(y\in S\)。

现在小 \(D\) 要猜这个集合中的数，每次猜的数不能和之前相同，猜错就结束。你需要告诉他如果采用最优策略，至少能猜对多少次。

输入格式

一行三个正整数 \(n,x,k\)。

输出格式

一行一个整数表示答案。

样例输入

20 8 2

样例输出

样例解释

\(\{2,4,8,10,14,16,20\}\subseteq S\)

数据范围

对于所有数据，\(1\le n\le 10^7\)，\(1\le x,k\le n\)。

对于前 \(20\%\) 的数据，\(n\le 20\)。

对于前 \(40\%\) 的数据，\(n\le 1000\)。

对于前 \(70\%\) 的数据，\(n\le 10^6\)。

思路

这题正解应该是考虑图论意义，将 \(x\) 当成起点，对于条件 \(2\)，先递推求 \(1\sim n\) 所有数的数位和，然后依次扫描 \(1\sim n\) 建边，最多就 \(O(n)\) 条，再根据条件 \(3\) 建边，边数为 \(\log_2n + \log_3n + \cdots + \log_{\lfloor\sqrt n\rfloor}n\)。

写个程序跑出来大概是 \(2.8\sqrt n\) 的样子。

但我只会证明它严格小于 \(n\)，也不知道题解里写的 \(O(\sqrt n)\) 是怎么算出来的。

所以边数大概是 \(O(n)\) 的，再用 bfs 统计从 \(x\) 出发能到达的点的数量，时间复杂度 \(O(n)\)。

\(\texttt{Code:}\)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e7 + 10, M = 2e8 + 10;
typedef long long ll;

int n, x, k, sq, t, ans;
int h[N], ne[M], e[M], idx;
int num[N];
queue<int> q;
bool vis[N];

inline void add(int a, int b) {
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void bfs() {
    q.push(x);
    vis[x] = 1;
    while(q.size()) {
        t = q.front();
        q.pop();
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (!vis[j]) {
                vis[j] = true;
                q.push(j);
            }
        }
    }
}
int main() {
	memset(h, -1, sizeof h);
    scanf("%d%d%d", &n, &x, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        num[i] = i % 10 + num[i / 10];
    sq = sqrt(n);
    for(int i = 2; i <= sq; i++)
        for (ll j = 1ll * i * i; j <= n; j *= i)
            add(j, i);
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        t = i - num[i] * k;
        if(t > 0) add(t, i);
    }
    bfs();
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        vis[i] ? ans++ : 1;
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

但考场上我写了一种玄学做法：开个 bool 数组，一直从前往后扫并根据规则更新那些数在集合中，若扫完后答案和扫之前相同，说明更新完毕，退出。

时间复杂度 \(O(kn)\)，\(k\) 是一个较小的常数（和 spfa 学的）。

\(\texttt{Code:}\)

#include <ctime>
#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 10000010;
typedef long long ll;
int n, x, k;
int sum[N];
bool st[N];
int ans;

void check(int x) {
    ll pow = 1ll * x * x;
    while(pow <= n) {
        if(st[pow]) {
            st[x] = true;
            ans++;
            return ;
        }
        pow *= x;
    }
}

void check2(int x) {
    if(x - k * sum[x] >= 2 && st[x - k * sum[x]]) {
        ans++;
        st[x] = true;
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &x, &k);
    if(x == 1) {
        puts("1");
        return 0;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
		sum[i] = i % 10 + sum[i / 10];
    st[x] = true;
    ans++;
    int limit = (int)sqrt(n);
    //玄学
    while(1) {
        int las = ans;
        for(int i = 2; i <= limit; i++)
            if(!st[i])
                check(i);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            if(!st[i])
                check2(i);
        if(ans == las) break;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

\(\texttt{Day 2 T1}\)

题目描述

棱镜宫殿的大门前有一个奇妙的装置。这个装置上有若干个转轮，每个转轮上有一个 \(0\) 到 \(9\) 之间的数字。这些转轮从左到右排开，形成了一个正整数 \(N\)。

小凯为了进入棱镜宫殿，他可以进行如下操作一次：

选择其中一些转轮转动，对于每个选择的转轮，操作之后会独立的等概率的变化成 \(0\) 到 \(9\) 之间的任意一个数字（操作后可能会出现前导零）。
如果操作后新的 \(N\) 更大了，宫殿的大门会打开，你需要帮助小凯选择一些转轮，最大化这个概率，对 \(998244353\) 取模后输出。

输入格式

一行一个正整数 \(N\)。

输出格式

输出一行一个整数，表示最大的概率。

样例输入

样例输出

970293512

样例解释

最优的操作是选择所有转轮，概率为 \(8/10+1/10×8/10+1/100×4/10=884/1000\)。

数据范围与约定

对于所有数据，有：\(1\le N<10^{2×10^5}\)
输入没有前导 \(0\)

思路

做一个简单的贪心：选择数值尽量小的改变，概率会尽量大。

令 \(l = 1, r = k\)，\(k\) 为该数有几位。

采取这样一种策略：

选取 \([l, r]\) 中数位最小且最靠前的那位，记为 \(x\)，操作它；
令 \(l = x + 1\)；
反复执行 \(1,2\) 直到 \(l = r + 1\)。

为什么这样是对的呢？

首先找最小值肯定是对的，但需要考虑怎么找。

先钦定好寻找顺序。

假设我们现在找到最靠前的最小值为一个数位上的数 \(now\)，往前找到最小值 \(pre\)，往后找到最小值 \(nex\)。

设先操作 \(now\) 再操作 \(pre\) 成功的概率为 \(P_1\)，先操作 \(now\) 再操作 \(nex\) 成功的概率为 \(P_2\)。

根据条件概率可得：

\(P_1 = \frac{9 - now}{10}\times\frac{1}{10} + \frac{1}{10}\times\frac{9 - pre}{10} + \frac{9 - now}{10}\times\frac{9 - pre}{10}\)

\(P_2 = \frac{9 - now}{10} + \frac{1}{10}\times\frac{9 - nex}{10}\)

两者作差，得：

\(P_2 - P_1 = \frac{pre\cdot (10 - now) - nex}{100}\)

根据 \(now < pre,now\le nex,now,pre,nex\in \{0, 1, \cdots,9\}\)，可得：\(P_2 > P_1\) 恒成立。

所以从前往后选择是更优的。

令 \(x_1, x_2,\cdots,x_k\) 表示选择的数位，\(x_1\) 是最高位，\(x_k\) 是最低位，则概率是 \(\sum\limits_{i = 1}^k (9 - x_i)10^{-i}\)。

这是一个字典序的形式，不断贪心的取最靠前的后缀最小值就行。

时间复杂度为 \(O(\log n)\)。

\(\texttt{Code:}\)

#include<bits/stdc++.h> 

using namespace std;

const int N = 200010, mod = 998244353;
typedef long long ll;

int n;
char s[N];
ll invs[N];
int minn[N];
int pos[N];

ll inv(ll a, ll b = mod - 2) {
    ll ans = 1, base = a % mod;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = ans * base % mod;
        base = base * base % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    // freopen("ex_opt3.in", "r", stdin);
    // freopen("ans.out", "w", stdout);
    scanf("%s", s + 1);
    n = strlen(s + 1);
    invs[1] = inv(10);
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        invs[i] = invs[i - 1] * invs[1] % mod;
    minn[n] = s[n] - '0';
    pos[n] = n;
    for(int i = n - 1; i; i--) {
        minn[i] = min(minn[i + 1], s[i] - '0'); //求后缀最小值
        if(minn[i + 1] >= s[i] - '0')
            minn[i] = s[i] - '0', pos[i] = i;
        else minn[i] = minn[i + 1], pos[i] = pos[i + 1];
    }
    int l = 1, cnt = 1;
    ll res = 0;
    while(l <= n) {
        res = (res + 1ll * (9 - minn[l]) * invs[cnt]) % mod;
        cnt++, l = pos[l] + 1;
    }
    printf("%lld\n", res);
    return 0;
}

\(\texttt{Day 3 T1}\)

题目描述

有两个长度为 \(n\) 的序列 \(a_1\sim a_n,b_1\sim b_n\)
，以及一个数 \(type\in{0,1}\)（具体意义见输入格式）。

茵蒂克丝想要求出区间 \([l,r]\) 的一个子区间 \([l',r']\)（即 \(l\le l'\le r'\le r\)），使得 \(\frac{\sum^{r'}\limits_{i=l'}a_i}{\sum^{r'}\limits_{i=l'}b_i}\) 的值最大。茵蒂克丝不希望取出的子区间过小，于是她要求出在满足 \(r'−l'+1\ge k\) 的条件下的最大值。

茵蒂克丝想要求出 \(q\) 个给定区间的最优区间。你需要帮助她求出每组询问的答案。

输入格式

第一行四个数 \(n,k,q,type\)。

第二行 \(n\) 个正整数 \(a_1\sim a_n\)。

第三行 \(n\) 个正整数 \(b_1\sim b_n\)。

接下来 \(q\) 行，每行两个加密而成的数 \(l_0,r_0\)。

设上一次询问的答案的分子为 \(lastans\)（如果之前没有询问则是 \(0\)），则 \(l = (l_0\oplus(lastans\times type))\bmod n + 1, r = (r_0\oplus(lastans\times type))\bmod n + 1\)。如果 \(l>r\)，则交换 \(l,r\)（\(\oplus\) 表示二进制下的异或运算)。

输出格式

输出 \(q\) 行，每行形如 \(a/b\) 的形式的最简分数，即 \(\gcd(a,b)=1\)。

如果不存在答案则输出 \(0/1\)。

样例 1 输入

样例 1 输出

样例 2 输出

5/6
5/3
0/1
5/3
5/6
5/3

数据范围与约定

对于 \(100\%\) 的测试数据，\(1\le n, q\le 10^6, 1\le k\le 20, 1\le a_i,b_i\le 10^7,1\le l_0,r_0\le n\)。

\(Subtask1(20\%):n,q≤300\)。

\(Subtask2(30\%):n,q≤3000\)。

\(Subtask3(20\%):n,q≤105,type=0\)。

\(Subtask4(15\%):k=1\)。

\(Subtask5(15\%)\): 无特殊限制。

需要注意，即使 \(type=0\)，最终询问的 \([l,r]\) 也会与输入给出的不同。

思路：

首先考虑部分分，\(Subtask1\) 为 \(O(n^3)\) 暴力，直接打。

\(Subtask2\) 需要用 \(O(n^2)\sim O(1)\) 区间 dp。

设（pair类型的） \(dp_{i, j}\) 表示区间左端点为 \(j\)，区间长度为 \(i\) 的最佳区间的分子和分母。

状态转移方程为：

\[dp_{i, j} = cmp(dp_{i - 1, j}, dp_{i - 1, j + 1}) \]

状态数量为 \(n^2\)，转移 \(O(1)\)，先预处理 \(O(n^2)\)，然后 \(O(1)\) 询问。

然后注意到 \(k\) 特别小，不妨从这上面下手。

引理：若 \(\frac{a}{b}\le\frac{c}{d}\)，则 \(\frac{a}{b}\le \frac{a + c}{b + d}\le \frac{c}{d}\)。

证明很简单，从溶液浓度方面来理解：一杯甜度为 \(\frac{a}{b}\) 的糖水兑上一杯甜度为 \(\frac{c}{d}\) 的糖水，得到的糖水的甜度一定介于两者之间。

所以最优区间的长度一定小于 \(2k\)，否则可以分裂成两个合法区间，其中必然有一个不劣。

这时有用的区间就只剩下 \(O(nk)\) 个了。

可以建立 \(k\) 个 ST 表分别处理长度为 \(k\sim 2k - 1\) 的最优区间，但这样无法过掉 \(n\le 10^6\) 的数据，会 MLE。

回想区间 dp 的做法，发现两者可以做一个平衡，将区间长度小于等于 \(2k\) 的区间用区间 dp 处理，这样状态数优化为 \(O(nk)\)；区间长度大于 \(2k\) 的用 ST 表区间查询即可。

具体地，设 \(t = 2k - 1\)，对于一组询问 \([l, r]\)，考虑所有的 \(l'\le r - t + 1\)，以这些位置为左端点的有用区间一定被询问区间包含。可以对每个左端点预处理其的最优区间，然后使用 ST 表询问。这一部分复杂度为 \(O(nk + n\log n)\)。

对于 \(l' > r - t + 1\)，我们可以优化暴力的区间 dp。注意到所有在此时访问到的区间的长度均 \(< t\)，我们可以 \(O(nk)\) 地 dp。

时间复杂度为 \((nk + n\log n + q)\)。

\(\texttt{Code:}\)

#include <bits/stdc++.h>

#define x first
#define y second
using namespace std;

const int N = 1000010;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

int n, k, q, type;
ll suma[N], sumb[N];
PII dp[21][N];
int log_2[N];

void init_log_2() {
    log_2[1] = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        log_2[i] = log_2[i / 2] + 1;
}

inline PII cmp(PII a, PII b) {
    if(!a.x && !a.y) return b;
    if((ll)a.x * b.y < (ll)b.x * a.y) return b;
    return a;
}

ll gcd(ll a, ll b) {
    if(!b) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

PII f[21][N];

void init() {
    for(int j = 1; j <= log_2[n]; j++)
        for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
            f[j][i] = cmp(f[j - 1][i], f[j - 1][i + (1 << j - 1)]);
}

inline PII query(int l, int r) {
    int t = log_2[r - l + 1];
    return cmp(f[t][l], f[t][r - (1 << t) + 1]);
}

int main() {
    scanf("%d%d%d%d", &n, &k, &q, &type);
    init_log_2();
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &suma[i]);
        suma[i] += suma[i - 1];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &sumb[i]);
        sumb[i] += sumb[i - 1];
    }
    for(int len = k; len <= k * 2; len++)
        for(int l = 1; l + len - 1 <= n; l++) {
            int r = l + len - 1;
            int sa = suma[r] - suma[l - 1];
            int sb = sumb[r] - sumb[l - 1];
            PII tmp = {sa, sb};
            if(len > k) dp[len - k][l] = cmp(cmp(dp[len - k - 1][l], dp[len - k - 1][l + 1]), tmp);
            else dp[len - k][l] = tmp;
        }
    for(int i = 1; i <= n - k + 1; i++)
        for(int j = i + k - 1; j <= min(i + k * 2 - 1, n); j++)
            f[0][i] = cmp(f[0][i], {suma[j] - suma[i - 1], sumb[j] - sumb[i - 1]});
    init();
    int l, r, lasans = 0;
    while(q--) {
        scanf("%d%d", &l, &r);
        l = (l ^ (lasans * type)) % n + 1, r = (r ^ (lasans * type)) % n + 1;
        if(l > r) swap(l, r);
        if(r - l + 1 < k) {
            printf("0/1\n");
            lasans = 0;
            continue;
        }
        PII ans = {0, 0};
        int limit = r - 2 * k + 1;
        if(limit >= l) ans = query(l, limit);
        else limit = l - 1;
        ans = cmp(ans, dp[r - limit - k][limit + 1]);
        int d = gcd(ans.x, ans.y);
        ans.x /= d, ans.y /= d;
        printf("%d/%d\n", ans.x, ans.y);
        lasans = ans.x;
    }
    return 0;
}

\(\texttt{Day 4 T1}\)

题目描述

菜汪酱是天文学家，喜欢观察行星的运动。

菜汪酱发现所在星系的行星都会绕着恒星转动。一共有 \(n\) 颗行星，分布在不同的轨道上。为了方便记录，菜汪酱把这些行星按照到恒星的距离依次标记为 \(1,2,\cdots,n\)。

通过对行星运动规律的长时间总结和归纳，菜汪酱发现行星会在一个以恒星为圆点的正圆形轨道上顺时针转动。并且通过一系列的观察，菜汪酱得到了所有行星的周期。更具体地，菜汪酱发现第 \(i\) 颗行星的周期为 \(a_i\) 个时间单位。由于某种神秘原因，菜汪酱发现所有 \(a_i\) 互不相同。

你可能听说过 \(n+1\) 星连珠的说法。更具体地，如果存在一条直线使得恒星和 \(n\) 颗行星都在这一条直线上，那么就是认为这一时刻出现了 \(n+1\) 星连珠。也就是说，就算不是所有行星都在恒星的同一侧，只要在一条直线上，也认为出现了 \(n+1\) 星连珠。

菜汪酱认为出现这种情况是美丽的，因此想要知道发生 \(n+1\) 星连珠的时间。幸运的是，现在就已经出现了 \(n+1\) 星连珠，因此菜汪酱想要知道下一次在这一条直线上出现 \(n+1\) 星连珠是多少时间单位之后。

你只需要验算就可以了，所以只需要你输出对 \(998244353\) 取模的结果。

当然结果可能并非整数，但是可以证明结果一定是有理数，因此如果最后的答案是 \(p/q\)，\(\gcd(p,q)=1\)，那么你的输出 \(t\) 需要满足 \(0\le t < 998244353\)，\(t\times q\equiv p\pmod{998244353}\)。题目保证答案存在且唯一。

输入格式

第一行一个整数 \(n\)。

接下来一行 \(n\) 个整数 \(a_1,\cdots,a_n\)。

输出格式

一行一个整数表示答案。

样例输入

2
114 514

样例输出

数据范围

对于 \(20\%\) 的数据，\(n=2\)。

对于 \(40\%\) 的数据，\(n\le 100,a_i\le 10^9\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le n\le 5000,1\le a_i\le 10^{18}\)。

思路：

很容易将原题面转化为：

给定 \(n\) 个正整数 \(\{a_1, a_2,\cdots,a_n\}\)，求它们的最小公倍数的 \(\frac{1}{2}\)，结果对 \(998244353\) 取模。

首先要声明一点，不能在做 \(\operatorname{lcm}\) 时顺便取模！

知道了这一点后，要么使用高精度算 \(\gcd\)，要么就用接下来的优美方法。

鉴于高精度除法和取模太难写，在考场上很难写对，所以学习优美的另一种算法。

维护 \(\operatorname{lcm}(a_1, a_2,\cdots,a_i) = b_1\times b_2\times\cdots \times b_i\)，当新加进来一个数 \(a_{i + 1}\) 时，推式子：

\[\begin{aligned}\operatorname{lcm}(a_1, a_2,\cdots,a_{i + 1}) &= \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a_1, a_2,\cdots,a_i), a_{i + 1})\\ &=\operatorname{lcm}(b_1\times b_2\times\cdots\times b_i,a_{i + 1})\\ &=b_1\times b_2\times\cdots\times b_i\times\frac{a_{i + 1}}{\gcd(b_1\times b_2\times\cdots\times b_i\bmod a_{i + 1}, a_{i + 1})} \end{aligned}\]

这里的 \(b_1\times b_2\times\cdots\times b_i\bmod a_{i + 1}\) 每次都要计算，所以时间复杂度为 \(O(n\log V + n^2)\)，其中 \(V\) 表示值域。

\(\texttt{Code:}\)

#include <iostream>

using namespace std;
typedef unsigned long long ull;

const int N = 5010, mod = 998244353, inv2 = (mod + 1) / 2;

int n;
ull a[N], b[N];

inline ull gcd(ull a, ull b) {
    if(!b) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    ull x;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%llu", &x);
        ull mul = 1;
        for(int j = 1; j < i; j++)
            mul = (__int128)mul * b[j] % x;
        b[i] = x / gcd(mul, x);
    }
    ull res = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        res = (__int128)res * b[i] % mod;
    printf("%llu", res * inv2 % mod);

    return 0;
}

posted @ 2024-10-22 19:53 Brilliant11001 阅读(18) 评论(0) 编辑收藏举报

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Brilliant11001

一只会咬人的氯化氢~

NOIP 膜你赛做题记录

\(\texttt{Day 1 T1}\)

题目大意：

输入格式

输出格式

样例输入

样例输出

样例解释

数据范围

思路

\(\texttt{Day 2 T1}\)

题目描述

输入格式

输出格式

样例输入

样例输出

样例解释

数据范围与约定

思路

\(\texttt{Day 3 T1}\)

题目描述

输入格式

输出格式

样例 1 输入

样例 1 输出

样例 2 输出

数据范围与约定

思路：

\(\texttt{Day 4 T1}\)

题目描述

输入格式

输出格式

样例输入

数据范围

思路：

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Brilliant11001

一只会咬人的氯化氢~

NOIP 膜你赛 做题记录

\(\texttt{Day 1 T1}\)

题目大意：

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思路

\(\texttt{Day 2 T1}\)

题目描述

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数据范围与约定

思路

\(\texttt{Day 3 T1}\)

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数据范围与约定

思路：

\(\texttt{Day 4 T1}\)

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思路：

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