P7976 解题报告

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题目大意：

设函数 \(F(x) := (x + 1) \bmod 3 − 1\)，\(T\) 次询问，计算：

\[\sum\limits_{i = 0}^{n}\sum\limits_{j}F\left({i\choose j}\right) \]

思路：

看到奇奇怪怪的组合数求和首先考虑 \(\text{Lucas}\)，将原数在 \(3\) 进制下拆位，得：

\[{i\choose j} = \prod\limits_{k = 1}^{m}{i_k\choose j_k}\bmod 3 \]

其中 \(m\) 表示 \(i\) 和三进制下较长的那个数的数字位数。

接着注意到 \(F\) 函数是一个积性函数（这个可以分九类讨论证明），即 \(F(xy) = F(x)F(y)\)，所以实际上 \(F\left({i\choose j}\right)\) 要计算的就是所有 \(F\left({i_k\choose j_k}\right)\) 的乘积。

对于每一个 \(i\)，\(j\) 的每一位就独立了，这时候再分类讨论：

1. 当 \(i_k = 0\) 时，\(j_k\) 取 \(0\) 的时候有贡献，此时这一位的值为 \(F(1) = 1\)；
2. 当 \(i_k = 1\) 时，\(j_k\) 取 \(0,1\) 的时候有贡献，此时这一位的值为 \(F(1) + F(1) = 2\)；
3. 当 \(i_k = 2\) 时，\(j_k\) 取 \(0,1,2\) 的时候有贡献，此时这一位的值为 \(F(1) + F(2) + F(1) = 1\)。

而乘 \(1\) 是不会是答案增加的，所以只用考虑乘 \(2\) 的个数就行了，即：

\[\sum\limits_{j}F\left(i\choose j\right) = \left(\prod\limits_{i_k = 0}1\right)\left(\prod\limits_{i_k = 1}2\right)\left(\prod\limits_{i_k = 2}1\right) = 2^{\#\{i_k = 1\}} \]

然后就会发现统计一下三进制表示下 \(1\) 的个数就行了，数位 dp 即可。

\(\texttt{Code:}\)

#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 65, mod = 1732073999;

int T;
ll vmax, n;
vector<int> num;
ll f[N][N];

ll qpow(int a, int b) {
    ll ans = 1, base = a;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = ans * base % mod;
        base = base * base % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll dfs(int pos, int cnt, bool limit, bool zero) {
    if(pos < 0) return qpow(2, cnt);
    if(!limit && !zero && ~f[pos][cnt]) return f[pos][cnt];
    int mx = (limit ? num[pos] : 2);
    ll res = 0;
    for(int i = 0; i <= mx; i++)
        res = (res + dfs(pos - 1, cnt + (i == 1), limit && (i == num[pos]), zero && (!i))) % mod;
    if(!limit && !zero) f[pos][cnt] = res;
    return res;
}

ll calc(ll x) {
    num.clear();
    ll tmp = x;
    while(tmp) {
        num.push_back(tmp % 3);
        tmp /= 3;
    }
    return dfs(num.size() - 1, 0, 1, 1);
}

int main() {
    scanf("%d%lld", &T, &vmax);
    memset(f, -1, sizeof f);
    while(T--) {
        scanf("%lld", &n);
        printf("%lld\n", calc(n));
    }
    return 0;
}