P7976 解题报告

合集 - 数学(8)

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题目大意：

设函数 $F(x):=(x+1)mod3-1$，$T$ 次询问，计算：

$$\sum _{i=0}^n\sum _{j}F\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})\right)$$

思路：

看到奇奇怪怪的组合数求和首先考虑 $\text{Lucas}$，将原数在 $3$ 进制下拆位，得：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})=\prod _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_k}{j_k})mod3$$

其中 $m$ 表示 $i$ 和三进制下较长的那个数的数字位数。

接着注意到 $F$ 函数是一个积性函数（这个可以分九类讨论证明），即 $F(xy)=F(x)F(y)$，所以实际上 $F\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})\right)$ 要计算的就是所有 $F\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{i_k}{j_k})\right)$ 的乘积。

对于每一个 $i$，$j$ 的每一位就独立了，这时候再分类讨论：

1. 当 $i_k=0$ 时，$j_k$ 取 $0$ 的时候有贡献，此时这一位的值为 $F(1)=1$；
2. 当 $i_k=1$ 时，$j_k$ 取 $0,1$ 的时候有贡献，此时这一位的值为 $F(1)+F(1)=2$；
3. 当 $i_k=2$ 时，$j_k$ 取 $0,1,2$ 的时候有贡献，此时这一位的值为 $F(1)+F(2)+F(1)=1$。

而乘 $1$ 是不会是答案增加的，所以只用考虑乘 $2$ 的个数就行了，即：

$$\sum _{j}F\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})\right)=\left(\prod _{i_k=0}1\right)\left(\prod _{i_k=1}2\right)\left(\prod _{i_k=2}1\right)=2^{\mathrm{\#}\{i_k=1\}}$$

然后就会发现统计一下三进制表示下 $1$ 的个数就行了，数位 dp 即可。

$\mathtt{\text{Code:}}$

#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 65, mod = 1732073999;

int T;
ll vmax, n;
vector<int> num;
ll f[N][N];

ll qpow(int a, int b) {
    ll ans = 1, base = a;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = ans * base % mod;
        base = base * base % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll dfs(int pos, int cnt, bool limit, bool zero) {
    if(pos < 0) return qpow(2, cnt);
    if(!limit && !zero && ~f[pos][cnt]) return f[pos][cnt];
    int mx = (limit ? num[pos] : 2);
    ll res = 0;
    for(int i = 0; i <= mx; i++)
        res = (res + dfs(pos - 1, cnt + (i == 1), limit && (i == num[pos]), zero && (!i))) % mod;
    if(!limit && !zero) f[pos][cnt] = res;
    return res;
}

ll calc(ll x) {
    num.clear();
    ll tmp = x;
    while(tmp) {
        num.push_back(tmp % 3);
        tmp /= 3;
    }
    return dfs(num.size() - 1, 0, 1, 1);
}

int main() {
    scanf("%d%lld", &T, &vmax);
    memset(f, -1, sizeof f);
    while(T--) {
        scanf("%lld", &n);
        printf("%lld\n", calc(n));
    }
    return 0;
}