P3193 [HNOI2008] GT考试 解题报告

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题目大意：

给定一个长度为 \(m\) 且只含 \(0\sim 9\) 的字符串 \(s\)，求出所有长度为 \(n\) 的，只含 \(0\sim 9\) 且不含 \(s\) 字符串的数量，结果对 \(mod\) 取模。

数据范围：\(n\le 10^9,m\le 20,k\le 1000\)。

思路：

不难发现和 这道题 很像，只是 \(n\) 的数据范围被扩大到了 \(10^9\)，\(m\) 的范围被缩小到了 \(20\)。

朴素 dp 思路在 状态机模型 dp 中写了，这里只讲优化。

朴素做法的时间复杂度为 \(O(nm)\)，由于这道题的 \(n\) 很大，所以 TLE 无疑了。

观察一下状态转移方程：

\[f(i + 1, \delta(\pi (j), ch)) \leftarrow f(i, j) \]

对于每个 \(j\)，它有 \(10\) 种状态，分别是字符 \(0\sim 9\)，而若 \(j\) 和将要填的字符 \(ch\) 一定，那么 \(\delta(\pi (j), ch)\) 显然也一定，即转移到的地方也相同，而这种转移对于每一个 \(i\) 都要做一次，所以应该优化这个过程。

把状态转移方程展开，以 \(f(i + 1,0\sim m - 1)\) 这一层为例：

\[\left\{\begin{matrix} f(i + 1, 0) = a_{0, 0}\times f(i, 0) + a_{1, 0}\times f(i, 1) + \cdots + a_{m - 1, 0}\times f(i, m - 1) & & \\ f(i + 1, 1) = a_{0, 1}\times f(i, 0) + a_{1, 1}\times f(i, 1) + \cdots + a_{m - 1, 1}\times f(i, m - 1) & & \\ \vdots & & \\ f(i + 1, m - 1) = a_{0, m - 1}\times f(i, 0) + a_{1, m - 1}\times f(i, 1) + \cdots + a_{m - 1, m -1}\times f(i, m - 1) & & \end{matrix}\right. \]

这不就是矩阵乘法的形式吗？

根据上面的分析，我们构造的矩阵 \(A\) 与 \(i\) 无关，所以设 \(F(i) = \begin{bmatrix} f(i, 0) & f(i, 1) &\cdots & f(i, m - 1)\end{bmatrix}\)，那么 \(F(i + 1) = F(i)\times A\)，不难推出 \(F(n) = F(0)\times A^n\)，然后就可以用矩阵快速幂算了。

现在的问题变成了如何构造矩阵 \(A\)。

根据状态转移方程，若 \(f(i, j)\rightarrow f(i + 1, p)\)，那么说明要得到 \(f(i + 1, p)\) 要加上 \(f(i, j)\)，即 \(A\) 矩阵中的第 \(j\) 行 \(p\) 列要加上 \(1\)。

为什么呢，看这张图就明白了：

其实图是我偷的（

那么矩阵 \(A\) 就构造好了,这道题也做完了。

流程：

先预处理 KMP 的 \(ne\) 数组，然后预处理出 \(A\) 矩阵，最后直接矩阵快速幂输出答案即可。

时间复杂度：\(O(m^3\cdot \log n)\)。

\(\texttt{Code:}\)

#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 25;

int n, m, mod;
char s[N];
int ne[N];

struct Matrix {
    int mar[N][N];
    Matrix() {memset(mar, 0, sizeof mar);}
    void init() {
        memset(mar, 0, sizeof mar);
        for(int i = 0; i < m; i++)
            mar[i][i] = 1;
    }
    Matrix operator *(const Matrix &o) const {
        Matrix res;
        for(int i = 0; i < m; i++)
            for(int j = 0; j < m; j++)
                for(int k = 0 ; k < m; k++)
                    res.mar[i][j] = (res.mar[i][j] + mar[i][k] * o.mar[k][j]) % mod;
        return res;
    }
}A;

int qpow(int k) {
    Matrix res;
    res.mar[0][0] = 1;
    while(k) {
        if(k & 1) res = res * A;
        A = A * A;
        k >>= 1;
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 0; i < m; i++)
        ans = (ans + res.mar[0][i]) % mod;
    return ans;
}

int main() {
    scanf("%d%d%d%s", &n, &m, &mod, s + 1);
    for(int i = 2, j = 0; i <= m; i++) {
        while(j && s[j + 1] != s[i]) j = ne[j];
        if(s[j + 1] == s[i]) j++;
        ne[i] = j;
    }
    for(int j = 0; j < m; j++)
        for(int k = '0'; k <= '9'; k++) {
            int p = j;
            while(p && s[p + 1] != k) p = ne[p];
            if(s[p + 1] == k) p++;
            if(p < m) A.mar[j][p]++;
        }
    printf("%d\n", qpow(n));
    return 0;
}