P10934 西瓜种植 解题报告

合集 - 图论(11)

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这道题也可以用贪心来做，这里讲一下差分约束的做法。

看到题中给出了 $m$ 条限制性的语句就联想到差分约束（差分约束的题还是很显眼的）。

做差分约束的题首先得把题面抽象成很多个不等式，所以我们先来转化一下题意。

首先发现求最小值，那么先确定转化方向：将所有条件转换成大于或大于等于，然后建边跑最长路。

设 $x_i$ 表示前 $i$ 块地共种了多少个西瓜。

那么对于每个关系可以理解为 $su{m}_b-su{m}_{a-1}\ge c$，就是说 $[a,b]$ 这块地种的西瓜数量要大于等于 $c$，那么就从 $a-1$ 向 $b$ 连一条长度为 $c$ 的有向边。

但是光这样建边你会发现根本做不了一点，因为你根本不知道该从哪里开始跑最长路，而且无法正确求解。

这就是这道题非常有意思的一点，因为除了给出的数据需要建边，还有隐藏的建边关系。

注意：

每处最多只能种一个西瓜。

这其实隐藏了一个关系：$\mathrm{\forall }i\in [1,n],0\le x_i-x_{i-1}\le 1$。

拆开来看就是：

$$\{\begin{array}{l}{x}_i-x_{i-1}\ge 0\\ x_{i-1}-x_i\ge -1\end{array}$$

所以，要从 $i-1$ 向 $i$ 连一条长度为 $0$ 的有向边，
从 $i$ 向 $i-1$ 连一条长度为 $-1$ 的有向边。

综上，再根据刚刚的建图方式，从 $0$ 号点跑最长路，答案就是 $x_n$。

$\mathtt{\text{Code:}}$

#include <queue>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 30010, M = 100010;

int n, m, C;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int dist[N];
bool vis[N];

void add(int a, int b, int c) {
	e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int ans;
void spfa(int s) {
	queue<int> q;
	q.push(s);
	memset(dist, -0x3f, sizeof dist);
	dist[s] = 0;
	vis[s] = true;
	while(q.size()) {
		int t = q.front();
		q.pop();
		vis[t] = false;
		for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
			int j = e[i];
			if(dist[j] < dist[t] + w[i]) {
				dist[j] = dist[t] + w[i];
				if(!vis[j]) {
					vis[j] = true;
					q.push(j);
				}
			}
		}
	}
}

int main() {
	memset(h, -1, sizeof h);
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		add(i - 1, i, 0);
		add(i, i - 1, -1);
	}
	for(int i = 1, a, b, c; i <= m; i++) {
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		add(a - 1, b, c);
	}
	spfa(0);
	printf("%d", dist[n]);
	return 0;
}