P10935 银河 解题报告

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这道题很有意思，（看上去像数据结构似的），考察的就是差分约束的掌握熟练程度和 Tarjan 算法的灵活变通。

首先发现要求最小值，所以跑最长路，并将所有关系都转化成大于或大于等于。

设 \(x_i\) 表示第 \(i\) 颗恒星的亮度值。

一共有五种关系，分类讨论：

第一种操作：\(x_a = x_b\)，根据 whk 上经常使用的方法可以转化为 \(x_a \le x_b\) 且 \(x_a \ge x_b\)，所以在 \(a,b\) 间连一条长度为 \(0\) 的无向边。

第二种操作：\(x_a < x_b\)，由于亮度值一定是整数，所以转化为 \(x_b - x_a \ge 1\)，所以从 \(a\) 向 \(b\) 连一条长度为 \(1\) 的有向边。

第三种操作：\(x_a \ge x_b\)，转化为 \(x_a - x_b\ge 0\)，所以从 \(a\) 向 \(b\) 连一条长度为 \(0\) 的有向边。

第四种操作：\(x_a > x_b\)，由于亮度值一定是整数，所以转化为 \(x_a - x_b \ge 1\)，所以从 \(b\) 向 \(a\) 连一条长度为 \(1\) 的有向边。

第五种操作：\(x_a \le x_b\)，转化为 \(x_a - x_b\le 0\)，所以从 \(a\) 向 \(b\) 连一条长度为 \(0\) 的有向边。

考虑到恒星的亮度最暗是 \(1\)，所以建立一个超级源点 \(0\)，向每个点连一条长度为 \(1\) 的边。

最后在 \(0\) 号点跑 spfa 求最长路，累加答案，若出现了正环就说明无解（因为你不能自己大于自己嘛）。

时间复杂度 \(O(nm)\)。

不出所料会 TLE，因为我们的 spfa 算法实在是太快啦。

又考虑到边权只有两种，\(0\) 或 \(1\)，由于出现正环一定无解，所以有解的情况要么就没有环，要么就只有边权和为 \(0\) 的环，第一种情况可以直接根据拓扑排序递推，第二种情况边权和为 \(0\) 的环显然没有用，直接用 Tarjan 缩掉，然后也可以根据拓扑排序递推了。

然后这道题就做完了，时间复杂度 \(O(n + m)\)。

\(\texttt{Code:}\)

#include <queue>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010, M = 400010; //这里存边的数组要多开一点

int n, m;
int h[N], hc[N], e[M << 1], w[M << 1], ne[M << 1], idx;
int stk[N], top;
int dfn[N], low[N], scc_cnt, id[N], scc_siz[N], tim;
int dist[N];
bool st[N];

void add(int h[], int a, int b, int c) {
	e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void tarjan(int u) {
    dfn[u] = low[u] = ++tim;
    stk[++top] = u, st[u] = true;
    for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if(!dfn[j]) {
            tarjan(j);
            low[u] = min(low[u], low[j]);
        }
        else if(st[j]) low[u] = min(low[u], dfn[j]);
    }
    if(dfn[u] == low[u]) {
        int y;
        scc_cnt++;
        do {
            y = stk[top--], st[y] = false;
            scc_siz[scc_cnt]++;
            id[y] = scc_cnt;
        }while(y != u);
    }
}

int main() {
	memset(h, -1, sizeof h);
    memset(hc, -1, sizeof hc);
	scanf("%d%d", &n, &m);
	int op, a, b;
	for(int i = 1; i <= n; i++) add(h, 0, i, 1);
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		scanf("%d%d%d", &op, &a, &b);
		if(op == 1) add(h, a, b, 0), add(h, b, a, 0);
		else if(op == 2) add(h, a, b, 1);
		else if(op == 3) add(h, b, a, 0);
		else if(op == 4) add(h, b, a, 1);
		else add(h, a, b, 0);
	}
	tarjan(0);//0 号点肯定与所有点联通
    for(int i = 0; i <= n; i++) {
        for(int j = h[i]; ~j; j = ne[j]) {
            int y = e[j];
            if(id[i] == id[y]) {
                if(w[j] > 0) {
                    puts("-1"); //出现正环即无解
                    return 0;
                }
            }
            else add(hc, id[i], id[y], w[j]);
        }
    }
    //Tarjan 的逆序即是拓扑排序
    for(int i = scc_cnt; i; i--) {
        for(int j = hc[i]; ~j; j = ne[j]) {
            int y = e[j];
            dist[y] = max(dist[y], dist[i] + w[j]);
        }
    }
    long long res = 0;
    for(int i = 1; i <= scc_cnt; i++) res += 1ll * dist[i] * scc_siz[i];
    printf("%lld\n", res);
	return 0;
}