P11008 『STA - R7』异或生成序列 题解

提示：这是一篇不是正解的题解。

题目大意很明确，这里不再重述。

思路：

让我们充分发扬人类智慧（

根据异或运算的基本性质，若两个数同时异或会被消掉，比如 \(a\operatorname{xor} b\operatorname{xor} b = a\)。

观察题目，容易发现将 \(b\) 数列异或起来会有很多重复的数，而它们都能消掉。

即：

\[b_1\operatorname{xor}b_2\operatorname{xor}\cdots \operatorname{xor}b_{i - 1} = p_1\operatorname{xor} p_i(i\in [2, n]) \]

再根据异或运算的另一个性质：若 \(a\operatorname{xor}b = c\)，则 \(a = b\operatorname{xor}c\)，得：

\[p_i = b_1\operatorname{xor}b_2\operatorname{xor}\cdots \operatorname{xor}b_{i - 1}\operatorname{xor} p_1 (i\in [2, n]) \]

也就是说，我们只要知道了一个 \(p_1\)，再依次计算就能得到原数列。

我们先维护一个异或的类似前缀和的数组 \(sum\)，即 \(sum_i\) 表示数列 \(b\) 的前 \(i\) 个数 \(\operatorname{xor}\) 起来得到的结果，然后钦定一个 \(p_1\) 并判断是否合法即可。

但这样的做法是 \(O(n^2)\) 的，考虑优化。

发现瓶颈在于找合法 \(p_1\) 的过程，如果能提前否掉一些不合法的选择就好了。

由于原数列是一个 \(1\sim n\) 的排列，所以不能出现 \(0\)，换句话说就是 \(sum_{i - 1}\operatorname{xor} p_1\) 不能为 \(0\)，即 \(p_1\ne sum_{i - 1}\)。同时也不能大于 \(n\)，和上面如出一辙。

所以开一个桶提前标记 \(p_1\) 不能取的值，剪掉一些情况。

\(\texttt{Code:}\)

#include <cmath>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 2000010;

int T, n;
int a[N], sum[N];
int ans[N];
int cnt;
bool st[N];

int main() {
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
            sum[i] = sum[i - 1] ^ a[i];
            st[sum[i]] = true; //标记不能取的值
        }
        for(int p1 = 1; p1 <= n; p1++) {
            if(st[p1]) continue; //玄学剪枝
            ans[1] = p1;
            bool flag = true;
            for(int j = 2; j <= n; j++) {
                int tmp = sum[j - 1] ^ p1;
                if(tmp > n) {
                    flag = false;
                    break;
                }
                ans[j] = tmp;
            }
            if(flag) {
                for(int j = 1; j <= n; j++)
                    printf("%d ", ans[j]);
                puts("");
                break;
            }
        }
        for(int i = 1; i < n; i++) st[sum[i]] = false; //记得最后还原
    }
    return 0;
}

这里我才刚把不等于 \(0\) 的情况判掉就通过了。（加强数据迫在眉睫）

欢迎大佬给出详细的时间复杂度的证明或 hack。