CF932C Permutation Cycle

题目传送门

思路：

个人认为构造题全靠感性理解，理解对了问题就迎刃而解了。（有点像做阅读理解）

我们先感性地理解题目中所有变量和函数的含义。

$f$ 函数是什么？

当 $j\ne 0$ 时，$f(i,j)=f(p_i,j-1)$，就是使 $j$ 花费了 $1$ 的代价，然后使 $i$ 变为了 $p_i$。

这就可以联想到在一张图上移动，那么 $f(i,j)$ 中的 $j$ 就相当于剩余步数，$i$ 就相当于目前的位置。

那么当 $j=1$ 时也可以这样来解释。

注意到每次移动为 $i\to p_i$，可以理解为 $i$ 向 $p_i$ 连了一条有向边，那么 $p$ 数组的含义也就得以解释。

将整个问题放在一张有向图上，所以 $f(i,j)$ 表示从点 $i$ 出发，走 $j$ 步到达的点的编号，这恰好印证证了 $1\le p_i\le n$ 这一条件。

$G$ 数组是什么？

根据我们对 $f$ 函数的定义，那么 $G$ 数组的含义即为：从 $i$ 出发走回到点 $i$ 的最小步数。

综上所述，问题变成了：构造一个含有 $n$ 个点的有向图，使得图中每个点都能在走 $A$ 步或 $B$ 步后回到原点。

手玩一下样例一，发现它构造的有向图如下：

发现是一个长度为 $5$ 的环和两个长度为 $2$ 的环！

从中我们可以得到启发：在图中构造两种环，一种长度为 $A$，一种长度为 $B$。

设构造了 $x$ 个长度为 $A$ 的环，$y$ 个长度为 $B$ 的环。

所以解不定方程：

$$Ax+By=n$$

即可。

其中 $x,y$ 都为非负整数。

由于输出一种方案即可，数据范围也不大，可以暴力枚举 $x$。

最后构造就行了。

$\mathtt{\text{Code:}}$

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1000010;

int n, a, b;
int p[N];

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &a, &b);
    bool flag = false;
    int x, y;
    for(x = 0; x <= n / a; x++) //枚举 x
        if((n - x * a) % b == 0) {
            flag = true;
            y = (n - x * a) / b;
            break; //随便找一个解
        }
    if(!flag) puts("-1"); //找不到解
    else {
        int id = 1;
        for(int i = 1; i <= x; i++) { //构造 x 个长度为 a 的环
            for(int j = 1; j < a; j++)
                p[id] = id + 1, id++;
            p[id] = id - a + 1, id++;
        }
        for(int i = 1; i <= y; i++) { //构造 y 个长度为 b 的环
            for(int j = 1; j < b; j++)
                p[id] = id + 1, id++;
            p[id] = id - b + 1, id++;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", p[i]);
    }
    return 0;
}

总结一下如何做构造题（仅供参考）：

1. 先理解清楚题中每个定义的含义；
2. 根据定义大胆发挥联想；
3. 从样例和样例解释找灵感。