高级数据结构（一）树状数组

合集 - 数据结构(19)

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引入

根据任意正整数关于 $2$ 的不重复次幂的唯一分解原理性质，若一个正整数 $x$ 的二进制表示为 $a_{k-1}{a}_{k-2}\cdots a_2{a}_1{a}_0$，其中等于 $1$ 的位是 $\{a_{i_1},a_{i_2},\cdots ,a_{i_m}\}$，则正整数 $x$ 可以被二进制分解为：

$$x=2^{i_1}+2^{i_2}+\cdots +2^{i_m}$$

其中，$m\le \log k$

不妨设 $i_1>i_2>\cdots >i_m$，进一步地，区间 $[1,x]$ 可以分成 $O(\log x)$ 个小区间：

1. 长度为 $2^{i_1}$ 的小区间 $[1,2^{i_1}]$
2. 长度为 $2^{i_2}$ 的小区间 $[2^{i_1}+1,2^{i_1}+2^{i_2}]$
3. 长度为 $2^{i_3}$ 的小区间 $[2^{i_1}+2^{i_2}+1,2^{i_1}+2^{i_2}+2^{i_3}]$

$\cdots \cdots$

m. 长度为 $2^{i_m}$ 的小区间 $[2^{i_1}+2^{i_2}+\cdots +2^{i_{m-1}}+1,2^{i_1}+2^{i_2}+\cdots +2^{i_m}]$

这些小区间的共同特点是：若区间结尾为 $R$，则区间长度就等于 $R$ 的“二进制分解”下最小的 $2$ 的次幂，即 $\mathtt{\text{lowbit(R)}}$。例如 $x=7=2^2+2^1+2^0$，区间 $[1,7]$ 可以分成 $[1,4],[5,6]$ 和 $[7,7]$ 三个小区间，长度分别是 $\mathtt{\text{lowbit(4)}}=4,\mathtt{\text{lowbit(6)}}=2,\mathtt{\text{lowbit(7) = 1}}$

给定一个整数 $x$，下面这段代码可以计算出区间 $[1,x]$ 分成的 $O(\log x)$ 个小区间。

while(x > 0) {
	printf("[%d, %d]\n", x - (x & -x) + 1, x);
	x -= x & -x;
}

---

1.树状数组简介

树状数组（$\mathtt{\text{Binary Indexed Trees}}$）就是一种基于上述思想的数据结构。

树状数组支持的操作：

1. 区间和、区间异或和、区间乘积和 RMQ（显然，支持的操作都具有交换律，这也算是树状数组的一大特性吧）

2. 单点修改（朴素的树状数组结构不支持区间修改，当然也可以普及成区间修改结构）

功能听起来和前缀和数组有点像，但它的优势在哪呢？

以求区间和为例，我们知道，前缀和数组求区间和的时间复杂度为 $O(n)$，单点修改操作的时间复杂度为 $O(1)$，所以对于 $m$ 次询问，总时间复杂度为 $O(mn)$。

树状数组平均了一下，两种操作的时间复杂度都是 $O(\log n)$，所以对于 $m$ 次询问，总时间复杂度为 $O(m\log n)$，比前缀和数组快上许多。

2.树状数组的存储特点：

对于给定的序列 $a$，我们建立一个数组 $c$，其中 $c[x]$ 保存序列 $a$，的区间 $[x-lowbit(x)+1,x]$ 中所有数的和，即 $\sum _{i=x-lowbit(x)+1}^{x}a[i]$。

为什么它叫做树状数组呢？事实上，数组 $c$ 可以看作一个如下图所示的树形结构，图中最下边一行是 $N$ 个叶节点（$N=8$），代表数值 $a[1\sim N]$。该结构满足以下性质：

1. 每个内部节点 $c[x]$ 保存以它为根的子树中所有叶结点的和；
2. 每个内部节点 $c[x]$ 的子节点个数等于 $\mathtt{\text{lowbit(x)}}$ 的位数；
3. 除树根外，每个内部节点 $c[x]$ 的父节点是 $c[x+\mathtt{\text{lowbit(x)}}]$；
4. 树的深度为 $O(\log N)$
   如果 $N$ 不是 $2$ 的整次幂，那么树状数组就是一个具有同样性质的森林结构。

由图可知:

$c[8]=c[4]+c[6]+c[7]+c[8]$

$c[7]=c[7]$

$c[6]=c[5]+c[6]$

$\cdots \cdots$

3.树状数组的实现

在执行所有操作之前，我们需要对树状数组进行初始化——针对原始序列 $a$ 构造一个树状数组。

为了简便起见，比较一般的初始化方法是：直接建立一个全为 $0$ 的数组 $c$，然后对每个位置 $x$ 执行 $\mathtt{\text{add(x,a[x])}}$，就完成了对原始序列 $a$ 构造树状数组的过程，时间复杂度为 $O(n\log n)$。通常采用这种方法已经足够。

更高效的初始化方法是：从小到大依次考虑每个节点 $x$，借助 $\mathtt{\text{lowbit}}$ 运算扫描它的子节点并求和。若采用这种方法，上面树形结构中的每条边只会被遍历一次，时间复杂度为 $O(\sum _{k=1}^{\log N}k\ast N/2^k)=O(n)$。

快速初始化：

void init() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        pre[i] = pre[i - 1] + a[i];
        c[i] = pre[i] - pre[i - lowbit(i)];
    }
}

---

查询前缀和：

int ask(int x) {
	int res = 0;
	for(; x; x -= lowbit(x)) res += c[x];
	return res;
}

---

单点修改：

void add(int x, int y) {
	for(; x <= n; x += lowbit(x)) c[x] += y;
}

P3374 【模板】树状数组 1

---

单点询问 + 区间修改：

利用了差分的思想，维护一个差分数组 $c$，对于指令：把 $[x,y]$ 上的每一个数加上 $k$，就可转化成把 $c[x]$ 加上 $k$，再把 $c[y+1]$ 减去 $k$。

P3368 【模板】树状数组 2

---

区间询问 + 区间修改：

（话说这不就是线段树吗）

说实话，树状数组不仅跑得比线段树快，码量要比线段树小得多，就是比较难想。

P3372 【模板】线段树 1

P2357 守墓人

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 5000010;
typedef long long ll;
int n, m;
ll c[2][N];

int lowbit(int x) {
	return x & -x;
}

ll ask(int id, int x) {
	ll res = 0;
	for(; x; x -= lowbit(x)) res += c[id][x];
	return res;
}

void add(int id, int x, ll y) {
	for(; x <= n; x += lowbit(x)) c[id][x] += y;
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	ll a, las = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lld", &a);
		add(0, i, a - las);
		add(1, i, (i - 1) * (a - las));
		las = a;
	}
	int op, x, y;
	ll k;
	while(m--) {
		scanf("%d%d%d", &op, &x, &y);
		if(op == 1) {
			scanf("%lld", &k);
			add(0, x, k);
			add(0, y + 1, -k);
			add(1, x, (x - 1) * k);
			add(1, y + 1, -y * k);
		}
		else {
			printf("%lld\n", y * ask(0, y) - ask(1, y) - (x - 1) * ask(0, x - 1) + ask(1, x - 1));
		}
	}
	return 0;
}