搜索与图论（1)

合集 - 图论(11)

1.树上公共祖先（LCA）2024-07-232.差分约束学习笔记2024-07-233.图论的一些建图小技巧2024-07-234.搜索与图论（3）最小生成树 && 二分图2023-09-265.搜索与图论（2）最短路2023-09-26

6.搜索与图论（1)2023-09-26

7.有向图的强连通分量2024-07-238.无向图的双连通分量2024-07-239.P10935 银河 解题报告2024-09-0110.P10934 西瓜种植 解题报告2024-09-0111.P11068 解题报告2024-09-16

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1.深度优先搜索（DFS）

2.宽度优先遍历（BFS)

3.树与图的储存

4.树与图的深度优先遍历

5.树与图的宽度优先遍历

6.拓扑排序

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1.深度优先搜索（DFS）

深搜，顾名思义，就是优先考虑搜索的深度，尽量往深了搜，就像一个执着的人，一条道走到黑。如果没有路可走了就往回退一步，继续寻找可以走的路，同时还要恢复搜索之前的一切（恢复现场），这就是回溯。

如图所示：

搜索轨迹看起来就像一棵树，虽然图有点丑，但确实有一点像吧。

代码实现：

void dfs(int u) {
    if(u == n) { //如果搜到终点 
	 //输出答案 
	 return ; 
    } 
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
   	if(!vis[i]) { //如果没有访问过 
	    //记录
	    vis[i] = true; //标记已经走过 
	    dfs(u + 1); //往深的一层继续搜索
	    //如果没路了
			
	    //撤销记录
	    vis[i] = 0; //恢复现场 
	} 
    }
}


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2.宽度优先搜索（BFS）

也叫广度优先搜索，即广搜。它的搜索顺序与深搜不同，它优先考虑的是搜索的宽度，就像一个稳重的人，先搜索下一步所有的可能，再在每种可能的基础上进行扩展，直到搜到答案。

如图所示：

搜索轨迹看起来像水波，逐渐向远处扩散。

代码实现：

void bfs() { //宽搜
	//宽搜要用队列哦 
	q.push(1); //压入起点
	while(!q.empty()) { //若队列不空 
		int t = q.front(); //取出队头 
		q.pop(); //弹掉 
		if(……) { //若搜到答案 
			//输出答案
			return ; 
		} 
		//扩展队列
	} 
}

还能再具体一点吗？

宽搜实现过程如图：

在此总结一下深搜和宽搜的区别：

深搜对应的数据结构是 stack（栈），空间复杂度 $O(h)$ ($h$ 为深度），时间复杂度 $O(2^h)$ , 它不具有最短性。

宽搜对应的数据结构是 queue（队列），空间复杂度 $O(2^h)$，时间复杂度 $O(h)$，可用于求最短路（只有当边权值固定为 $1$ 时才可用），因为在第一次搜到时必定是最短路。

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3.树与图的储存

因为树是一种特殊的图（无环连通图），图分为两种，有向图和无向图，无向图又是一种特殊的有向图，所以这里我们只用考虑有向图的储存方式即可触类旁通。
有向图的存储通常有两种方式，分别为邻接矩阵、邻接表。

邻接矩阵

这是一种使用较少的方法，它的实质是定义一个二维数组用于储存这张图的信息。比如定义 $mapp[a][b]$ 储存的是节点a到节点b的边的信息，若有权重，则储存权重；若无权重，则为一个布尔值，$0$ 表示无边，$1$ 表示有边。

邻接表

它的实质是对于每个节点，都定义了一个单链表，用于存储这个点可以走到哪个点。

如图所示：

以上两种存储方式的空间复杂度都为 $O(n^2)$ 且运行速度较慢，那有没有一个相对较快、内存占用低的方式呢？

我们将邻接表进行优化，便得到了一个新方式：链式前向星。

与普通邻接表不同，链式前向星是一个链式结构，而普通邻接表是线性结构，无论是时间上还是空间上，链式前向星都完胜普通邻接表。

那我们怎么来实现它呢？代码如下：

const int N = 10010;
int h[N], e[N], ne[N], idx; //h[N]记录每个节点的最后一条出边，e[N]记录每
条边要到达的点，ne[N]记录了从相同节点出发的下一条边在e[N]数组中的储存位置，
idx表示读到了第几条边

void add(int a, int b) { //插入一条由a指向b的边 
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++; 
} 

这里有更加详细的介绍

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4.树与图的深度优先遍历

同上，我们只考虑如何遍历有向图。实现方式和深搜类似。

时间复杂度：$O(n+e)$

代码实现：

void dfs(int u) { //从节点u开始
	vis[u] = true; //标记已被访问过 
	for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) { //遍历此节点的每一条边 
		int j = e[i];
		if(!vis[j]) dfs(j); //若未被访问，则继续深搜 
	}
}

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5.树与图的宽度优先遍历

实现方式和宽搜类似。

时间复杂度：$O(n+e)$

代码实现：

int d[N]; //储存第一个节点到其他节点的距离（最小距离） 
void bfs() {
	q.push(1);
	memset(d, -1, sizeof(d));
	d[1] = 0; //第一个点到自己的距离当然为0
	while(!q.empty()) {
		int t = q.front();
		for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
			int j = e[i];
			if(d[j] == -1) { //若第一次搜到 
				d[j] = d[t] + 1; //记录距离 
				q.push(j); //扩展队列 
			}
		}
	} 
	printf("%d", d[n]); //输出 
} 

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6.拓扑排序

拓扑序列是针对有向图说的，无向图是没有拓扑序列的。它的定义是：如果一个由点组成的序列 $A$ 满足，对于图中的每条边 $(x,y)$ ，$x$ 在 $A$ 中都出现在 $y$ 之前，则 $A$ 是该图的一个拓扑序列。

为什么说“一个拓扑序列”呢？我们不难发现，对于某些有向无环图，不只有一个拓扑排序，比如：

这个图就有两个拓扑序列，分别为 $123$ 和 $132$ 。

我们如何求一个有向无环图的拓扑序列呢？

其实需要用到上面讲的宽度优先遍历。首先我们思考，什么样的节点可以放在序列的前面呢？显然，所有入度为 $0$ 的点都是可以作为起点的，因为没有任何一条边指向它，即没有任何一个点能在它的前面,所以我们先让所有入度为 $0$ 的点入队，此时剩下的节点一定就为入度不为 $0$ 的节点了，接下来又该怎么办呢？

你看，所有入度为 $0$ 的点都已经放在前面了，假设其中有个节点 $A$ ，有条边由 $A$ 指向 $B$ ，那意思是不是说， $B$ 一定在 $A$ 的后面？答案是肯定的，这样我们就保证了节点 $A$ 的所有出边所连的节点都是一定满足以上规律的，既然这样，这些边对于 $A$ 便没有任何作用了，我们将这些边删掉。删掉后，如果 $B$ 也变成了入度为 $0$ 的点，那又可以将 $B$ 放入队列，以此类推。

代码实现如下：

int h[N], e[N], ne[N], idx;
int n, m, d[N];
int q[N];
void topsort() {
	int hh = 0, tt = -1; //手写队列
	for(int i = 1; i <= n; i++) { //所有入度为0的点入队
		if(!d[i]) q[++tt] = i;
	} 
	while(hh <= tt) {
		int t = q[hh++];
		for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { //遍历队头节点的
        						所有出边
			int j = e[i];
			d[j]--; //删除此边
			if(!d[j]) q[++tt] = j; //若B也变成入度为0的点，
            					则将B放入队列
		} 
	}
	for(int i = 0; i < n; i++) {
		printf("%d ", q[i]); //输出（这里体现出了手写队列的好处，弹出操作只是将队头指针往后移动，但排好序的序列刚好是从下标0开始的，没有被“弹掉”
	}
	return ;
} 

这时候就有有一个疑问了，这样做真的可以使这个有向无环图的所有节点入队吗？答案是可以的。我们可以浅浅地证明一下。

这里采用反证法来证明（主要是蒟蒻不知道怎么从正面证明）首先，只有入度为 $0$ 的点才能被压入队列，假设存在一个有向无环图，我们用以上方法不能求出它的拓扑排序，则当程序进行到一定程度时找不到入度为 $0$ 的点，且仍有点未入队。所以此时所有的节点至少有一个入边，不妨设每个节点有且仅有一条入边，我们从节点 $A$ 开始找起，则必定有一个节点 $B$ 指向它，那么也必定有一个节点 $C$ 指向节点 $B$ $\dots \dots$ 以此类推，假设此图有 $n$ 个节点，但我们会找出 $n+1$ 个点。根据抽屉原理，则必定有两个节点重合，即这两个节点为同一节点，则必然存在一个环，不合题意，故假设错误，所以对于所有的有向无环图，我们用以上方法都能求出它的拓扑排序，证明完毕。

这样一来，我们不仅证明了这个方法的可行性，还得到了一条重要性质：对于所有的有向无环图，至少存在一个入度为 $0$ 的节点。