[BZOJ2037][Sdoi2008]Sue的小球
Description
Sue和Sandy最近迷上了一个电脑游戏，这个游戏的故事发在美丽神秘并且充满刺激的大海上，Sue有一支轻便小巧的小船。然而，Sue的目标并不是当一个海盗，而是要收集空中漂浮的彩蛋，Sue有一个秘密武器，只要她将小船划到一个彩蛋的正下方，然后使用秘密武器便可以在瞬间收集到这个彩蛋。然而，彩蛋有一个魅力值，这个魅力值会随着彩蛋在空中降落的时间而降低，Sue要想得到更多的分数，必须尽量在魅力值高的时候收集这个彩蛋，而如果一个彩蛋掉入海中，它的魅力值将会变成一个负数，但这并不影响Sue的兴趣，因为每一个彩蛋都是不同的，Sue希望收集到所有的彩蛋。 然而Sandy就没有Sue那么浪漫了，Sandy希望得到尽可能多的分数，为了解决这个问题，他先将这个游戏抽象成了如下模型： 以Sue的初始位置所在水平面作为x轴。 一开始空中有N个彩蛋，对于第i个彩蛋，他的初始位置用整数坐标（xi, yi）表示，游戏开始后，它匀速沿y轴负方向下落,速度为vi单位距离/单位时间。Sue的初始位置为(x0, 0)，Sue可以沿x轴的正方向或负方向移动，Sue的移动速度是1单位距离/单位时间，使用秘密武器得到一个彩蛋是瞬间的，得分为当前彩蛋的y坐标的千分之一。 现在，Sue和Sandy请你来帮忙，为了满足Sue和Sandy各自的目标，你决定在收集到所有彩蛋的基础上，得到的分数最高。
Input
第一行为两个整数N, x0用一个空格分隔，表示彩蛋个数与Sue的初始位置。 第二行为N个整数xi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋的初始横坐标。 第三行为N个整数yi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋的初始纵坐标。 第四行为N个整数vi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋匀速沿y轴负方向下落的的速度。
Output
一个实数，保留三位小数，为收集所有彩蛋的基础上，可以得到最高的分数。
Sample Input
3 0
-4 -2 2
22 30 26
1 9 8
-4 -2 2
22 30 26
1 9 8
Sample Output
0.000
数据范围：
N < = 1000，对于100%的数据。 -10^4 < = xi,yi,vi < = 10^4
数据范围：
N < = 1000，对于100%的数据。 -10^4 < = xi,yi,vi < = 10^4
这类DP十分经典，和之前做过的一道关路灯的题十分相似。
这类DP的特点就是当前的决策对未来的答案产生影响。
解决方法就是在转移的时候同时将其对未来的影响同时转移。
我们设$f[i][j][0/1]$表示处理完了$i$到$j$区间中的问题，目前在$i$还是在$j$的最小损失。
那么我们考虑转移， 像上面说的那样，我们转移这一步的时候，顺便把未来的影响也计算进去。
那么$f[i][j][0] = min(f[i+1][j][0]+(x[i+1]-x[i])*(cost(1,i)+cost(j+1, n)), f[i+1][j][1]+(x[j]-x[i])*(cost(1,i)+cost(j+1,n)))$
$f[i][j][1]$类似上面转移。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; inline char gc() { static const int bs = 1 << 22; static unsigned char buf[bs], *st, *ed; if (st == ed) ed = buf + fread(st = buf, 1, bs, stdin); return st == ed ? EOF : *st++; } #define gc getchar inline int read() { int res=0;char ch=gc();bool fu=0; while(!isdigit(ch))fu|=(ch=='-'), ch=gc(); while(isdigit(ch))res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48), ch=gc(); return fu?-res:res; } #define reg register int n, m; struct date { int x, y, v; bool operator < (const date &a) const { return x < a.x; } }da[1005]; int sum[1005]; int tot; int f[1005][1005][2]; int main() { n = read(), m = read(); for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) da[i].x = read(); for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) da[i].y = read(); for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) da[i].v = read(); da[++n] = (date){m, 0, 0}; sort(da + 1, da + 1 + n); for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) sum[i] = sum[i - 1] + da[i].v, tot += da[i].y; memset(f, 0x3f, sizeof f); for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) if (da[i].x == m and da[i].y == 0 and da[i].v == 0) f[i][i][0] = f[i][i][1] = 0; for (reg int l = 2 ; l <= n ; l ++) { for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) { int j = i + l - 1; if (j > n) break; f[i][j][0] = min(f[i + 1][j][0] + (sum[i] + sum[n] - sum[j]) * (da[i + 1].x - da[i].x) , f[i + 1][j][1] + (sum[i] + sum[n] - sum[j]) * (da[j].x - da[i].x)); f[i][j][1] = min(f[i][j - 1][1] + (sum[i - 1] + sum[n] - sum[j - 1]) * (da[j].x - da[j - 1].x), f[i][j - 1][0] + (sum[i - 1] + sum[n] - sum[j - 1]) * (da[j].x - da[i].x)); } } int ans = tot - min(f[1][n][1], f[1][n][0]); printf("%.3lf\n", 1.0 * ans / 1000); return 0; }
