[BZOJ4481] [Jsoi2015]非诚勿扰

Description

【故事背景】
JYY赶上了互联网创业的大潮，为非常勿扰开发了最新的手机App实现单身
大龄青年之间的“速配”。然而随着用户数量的增长，JYY发现现有速配的算法似
乎很难满足大家的要求，因此JYY决定请你来调查一下其中的原因。
【问题描述】
应用的后台一共有N个女性和M个男性，他们每个人都希望能够找到自己的
合适伴侣。为了方便，每个男性都被编上了1到N之间的一个号码，并且任意两
个人的号码不一样。每个女性也被如此编号。
JYY应用的最大特点是赋予女性较高的选择权，让每个女性指定自己的“如
意郎君列表”。每个女性的如意郎君列表都是所有男性的一个子集，并且可能为
空。如果列表非空，她们会在其中选择一个男性作为自己最终接受的对象。
JYY用如下算法来为每个女性速配最终接受的男性：将“如意郎君列表”中的
男性按照编号从小到大的顺序呈现给她。对于每次呈现，她将独立地以P的概率
接受这个男性（换言之，会以1−P的概率拒绝这个男性）。如果她选择了拒绝，
App就会呈现列表中下一个男性，以此类推。如果列表中所有的男性都已经呈现，
那么中介所会重新按照列表的顺序来呈现这些男性，直到她接受了某个男性为止。
显然，在这种规则下，每个女性只能选择接受一个男性，而一个男性可能被多个
女性所接受。当然，也可能有部分男性不被任何一个女性接受。
这样，每个女性就有了自己接受的男性（“如意郎君列表”为空的除外）。现
在考虑任意两个不同的、如意郎君列表非空的女性a和b，如果a的编号比b的编
号小，而a选择的男性的编号比b选择的编号大，那么女性a和女性b就叫做一对
不稳定因素。
由于每个女性选择的男性是有一定的随机性的，所以不稳定因素的数目也是
有一定随机性的。JYY希望你能够求得不稳定因素的期望个数（即平均数目），
从而进一步研究为什么速配算法不能满足大家的需求。

Input

输入第一行包含2个自然数N,M，表示有N个女性和N个男性，以及所有女
性的“如意郎君列表”长度之和是M。
接下来一行一个实数P，为女性接受男性的概率。
接下来M行，每行包含两个整数a,b，表示男性b在女性a的“如意郎君列表”
中。
输入保证每个女性的“如意郎君列表”中的男性出现切仅出现一次。
1≤N,M≤500,000，0.4≤P<0.6

Output

输出1行，包含一个实数，四舍五入后保留到小数点后2位，表示不稳定因素的期望数目。

Sample Input

5 5
0.5
5 1
3 2
2 2
2 1
3 1

Sample Output

0.89

 

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求出每个女性选择她的列表里的第x个男性的概率， 然后用树状数组维护一个类似逆序对的东西。

思路很巧妙。

 

---

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define reg register 
#define N 500005
inline int read() {
    int res=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return res;
}

int n, m;

struct edge {
    int x, y;
}ed[N];
inline bool cmp(edge a, edge b) {
    if (a.x == b.x) return a.y < b.y;
    return a.x < b.x;
}
int hav[N];

long double P, fac[N], ans = 0.0;

long double tr[N];
#define lowbit x & -x
inline void add(int x, long double y) {
    while(x <= n) tr[x] += y, x += lowbit;
}
inline long double ask(int x) {
    long double res = 0.0;
    while(x) res += tr[x], x -= lowbit;
    return res;
}

int main()
{
    n = read(), m = read();
    scanf("%Lf", &P);
    for (reg int i = 1 ; i <= m ; i ++)
    {
        int x = read(), y = read();
        ed[i].x = x, ed[i].y = y;
        hav[x]++;
    }
    sort(ed + 1, ed + 1 + m, cmp);
    int now = 1;
    fac[0] = 1;
    for (reg int i = 1 ; i <= m ; i ++) fac[i] = fac[i-1] * (1.0 - P);
    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) 
    {
        if (ed[now].x != i) continue;
        int cnt = 0;
        while(ed[now].x == i) {
            cnt++;
            long double pp = fac[cnt-1] * P / (1 - fac[hav[ed[now].x]]);
            add(ed[now].y, pp);
            ans += pp * (ask(n) - ask(ed[now].y));
            now++;
        }
    }
    
    printf("%.2lf\n", (double)ans);
    return 0;
}