KM算法（带权二分图最优匹配）

先了解一下KM算法：

在满天飞的KM讲解中，感觉这篇博客讲的是真的好！！！

转自https://www.cnblogs.com/logosG/p/logos.html

如果每个员工做每件工作的效率各不相同，我们如何得到一个最优匹配使得整个公司的工作效率最大呢？

这种问题被称为带权二分图的最优匹配问题，可由KM算法解决。

比如上图，A做工作a的效率为3，做工作c的效率为4......以此类推。

不了解KM算法的人如何解决这个问题？我们只需要用匈牙利算法找到所有的最大匹配，比较每个最大匹配的权重，再选出最大权重的最优匹配即可。这不失为一个解决方案，但是，如果公司员工的数量越来越多，此种算法的实行难度也就越来越大，我们必须另辟蹊径：KM算法。

KM算法解决此题的步骤如下所示：

1.首先对每个顶点赋值，将左边的顶点赋值为最大权重，右边的顶点赋值为0。

如图，我们将顶点A赋值为其两边中较大的4。

2.进行匹配，我们匹配的原则是：只与权重相同的边匹配，若是找不到边匹配，对此条路径的所有左边顶点-1，右边顶点+1，再进行匹配，若还是匹配不到，重复+1和-1操作。（这里看不懂可以跳过，直接看下面的操作，之后再回头来看这里。）

对A进行匹配，符合匹配条件的边只有Ac边。

匹配成功！

接下来我们对B进行匹配，顶点B值为3，Bc边权重为3，匹配成~ 等等，A已经匹配c了，发生了冲突，怎么办？我们这时候第一时间应该想到的是，让B换个工作，但根据匹配原则，只有Bc边 3+0=0 满足要求，于是B不能换边了，那A能不能换边呢？对A来说，也是只有Ac边满足4+0=4的要求，于是A也不能换边，走投无路了，怎么办？

从常识的角度思考：其实我们寻找最优匹配的过程，也就是帮每个员工找到他们工作效率最高的工作，但是，有些工作会冲突，比如现在，B员工和A员工工作c的效率都是最高，这时我们应该让A或者B换一份工作，但是这时候换工作的话我们只能换到降低总体效率值的工作，也就是说，如果令R=左边顶点所有值相加，若发生了冲突，则最终工作效率一定小于R，但是，我们现在只要求最优匹配，所以，如果A换一份工作降低的工作效率比较少的话，我们是能接受的（对B同样如此）。

在KM算法中如何体现呢？

现在参与到这个冲突的顶点是A,B和c，令所有左边顶点值-1，右边顶点值+1，即 A-1,B-1. c+1，结果如下图所示。

我们进行了上述操作后会发现，若是左边有n个顶点参与运算，则右边就有n-1个顶点参与运算，整体效率值下降了1*（n-（n-1））=1，而对于A来说，Ac本来为可匹配的边，现在仍为可匹配边（3+1=4），对于B来说，Bc本来为可匹配的边，现在仍为可匹配的边（2+1=3），我们通过上述操作，为A增加了一条可匹配的边Aa，为B增加了一条可匹配的边Ba。

现在我们再来匹配，对B来说，Ba边 2+0=2，满足条件，所以B换边，a现在为未匹配状态，Ba匹配！