查找（顺序表&有序表）
【1】查找概论
查找表是由同一类型是数据元素（或记录）构成的集合。
关键字是数据元素中某个数据项的值，又称为键值。
若此关键字可以唯一标识一个记录，则称此关键字为主关键字。
查找就是根据给定的某个值，在查找表中确定一个其关键字等于给定值的数据元素（或记录）。
查找分为两类：静态查找表和动态查找表。
静态查找表：只作查找操作的查找表。主要操作：
（1）查询某个“特定的”数据元素是否在查找表中。
（2）检索某个“特定的”数据元素和各种属性。
动态查找表：在查找过程中同时插入查找表中不存在的数据元素，或者从查找表中删除已经已经存在的某个数据元素。 主要操作：
（1）查找时插入数据元素。
（2）查找时删除数据元素。
好吧！两者的区别： 静态查找表只负责查找任务，返回查找结果。
而动态查找表不仅仅负责查找，而且当它发现查找不存在时会在表中插入元素（那也就意味着第二次肯定可以查找成功）
【2】顺序表查找
顺序表查找又称为线性查找，是最基本的查找技术。 它的查找思路是：
逐个遍历记录，用记录的关键字和给定的值比较：
若相等，则查找成功，找到所查记录； 反之，则查找不成功。
顺序表查找算法代码如下：
对于这种查找算法，查找成功最好就是第一个位置找到，时间复杂度为O(1)。
最坏情况是最后一个位置才找到，需要n次比较，时间复杂度为O(n) 显然，n越大，效率越低下。
【3】有序表查找
所谓有序表，是指线性表的数据有序排列。
（1）折半查找
关于这个算法不做赘述，代码如下：
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 // 折半查找算法（二分查找） 5 int Binary_Search(int* a,int n,int key) 6 { 7 int low = 1, high = n, mid = 0; // 初始化 8 while (low <= high) // 注意理解这里还有等于条件 9 { 10 mid = (low + high)/2; // 折半 11 if (key < a[mid]) 12 high = mid -1; // 最高小标调整到中位小一位 13 else if (key > a[mid]) 14 low = mid + 1; // 最低下标调整到中位大一位 15 else 16 return mid; // 相等说明即是 17 } 18 return 0; 19 } 20 21 void main () 22 { 23 int a[11] = {0,9,23,45,65,88,90,96,100,124,210}; 24 int n = Binary_Search(a,10, 9); 25 if (n != 0) 26 cout << "Yes:" << n << endl; 27 else 28 cout << "No:" << endl; 29 }
折半查找算法的时间复杂度为O(logn)。
（2）插值查找
考虑一个问题：为什么是折半？而不是折四分之一或者更多呢？ 好吧，且看分解：
（3）斐波那契查找
斐波那契查找利用了黄金分割原理来实现。 如何利用斐波那契数列作为分割呢？
为了理清这个查找算法，首先需要一个斐波那契数列，如下图所示：
查找算法如下描述：
注意阅读以下详解之前，请先编译并运行第四部分的实例代码，结合代码再理解算法。
首先要明确一点：
如果一个有序表的元素个数为n，并且n正好是某个斐波那契数-1，即n == F[k]-1时，才能用斐波那契查找法。
1. 如果有序表的元素个数n不等于某个斐波那契数-1，即n != F[k]-1，如何处理呢？
这时必须要将有序表的元素个数扩展到比n大的第一个斐波那契数-1的个数才符合算法的查找条件。
通俗点讲，也就是为了使用斐波那契查找法，那么要求所查找顺序表的元素个数n必须满足n == F[k]-1这样的条件才可以。
因为查找表为从小到大的顺序表，所以如果数据元素个数不满足要求，只有在表末用顺序表的最大值补满。
代码中第9-10行的作用恰是如此。
2. 对于二分查找，分割点是从mid= (low+high)/2开始。
而对于斐波那契查找，分割是从mid = low + F[k-1] - 1开始的。 为什么如此计算？
用实例验证，比如本例中： 第一次进入查找循环时，数组元素个数准确说应该是12（包括随后补满的元素）
而黄金分割点比例为0.618，那么12*0.618=7.416，此值对应12个元素应该为a[8]
观察程序运行第一次mid=1+F[7-1]-1=8，正是此原理所体现。
key=59，a[8]=73，显然key<a[8]，可知low=1，high=7，k=7-1=6
注意此条件意思即为7个数据元素，正好满足F[6]-1=7的再次查找客观要求
而同理，黄金分割点比例为0.618，那么7*0.618=4.326，此值对应7个元素应该为a[5]
再看第二次进入循环mid=1+F[6-1]-1=5，正是此原理所体现。
key=59，a[5]=47，显然key>a[5]，可知low=6，high=7，k=6-2=4
注意此条件意思即为2个数据元素，正好满足F[4]-1=2的再次查找客观要求
而同理黄金分割点比例为0.618，那么2*0.618=1.236，此值对应2个元素中的第二个即为a[7]
key=59，a[7]=62，显然key<a[7]，可知low=6，high=6，k=4-1=3
同理mid=6+F[3-1]-1=6。此时a[6]=59=key。 即查找成功。
3. 注意紧接着下面一句代码可以改写为：
return (mid <= n) ? mid : n;
当然这样写也没有功能错误，但是细细琢磨还是有逻辑问题：
mid == n时，返回为n; mid > n时返回也是n。
那么到底n属于那种情况下的返回值呢？是否有违背if的本质！
窃以为写成if(mid < n)会合理些。
另外，许多资料对于这步判断描述如下：
return (mid <= high) ? mid : n;
其实分析至此，我认为这种写法从代码逻辑而言更为合理。
4. 通过上面知道：数组a现在的元素个数为F[k]-1个，即数组长为F[k]-1。
mid把数组分成了左右两部分，左边的长度为：F[k-1]-1
那么右边的长度就为（数组长-左边的长度-1）： （F[k]-1）-（F[k-1]-1）= F[k]-F[k-1]-1 = F[k-2] - 1
5. 斐波那契查找的核心是：
a: 当key == a[mid]时，查找成功；
b: 当key<a[mid]时，新的查找范围是第low个到第mid-1个，此时范围个数为F[k-1] - 1个，
即数组左边的长度，所以要在[low, F[k - 1] - 1]范围内查找；
c: 当key>a[mid]时，新的查找范围是第mid+1个到第high个，此时范围个数为F[k-2] - 1个，
即数组右边的长度，所以要在[F[k - 2] - 1]范围内查找。
关于斐波那契查找， 如果要查找的记录在右侧，则左侧的数据都不用再判断了，不断反复进行下去。
对处于中间的大部分数据，其工作效率要高一些。
所以尽管斐波那契查找的时间复杂度也为O(logn)，但就平均性能来说，斐波那契查找要优于折半查找。
可惜如果是最坏的情况，比如这里key=1，那么始终都处于左侧在查找，则查找效率低于折半查找。
还有关键一点：折半查找是进行加法与除法运算的（mid=(low+high)/2）
插值查找则进行更复杂的四则运算（mid = low + (high - low) * ((key - a[low]) / (a[high] - a[low]))）
而斐波那契查找只进行最简单的加减法运算（mid = low + F[k-1]-1）
在海量数据的查找过程中，这种细微的差别可能会影响最终的效率。
【4】斐波那契算法代码实现
实例算法代码如下：
1 #include <iostream> 2 #include <assert.h> 3 using namespace std; 4 5 #define MAXSIZE 11 6 7 // 斐波那契非递归 8 void Fibonacci(int *f) 9 { 10 f[0] = 0; 11 f[1] = 1; 12 13 for (int i = 2; i < MAXSIZE; ++i) 14 { 15 f[i] = f[i-1] + f[i-2]; 16 } 17 } 18 // 斐波那契数列 19 /*--------------------------------------------------------------------------------- 20 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 21 ---------------------------------------------------------------------------------- 22 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 23 -----------------------------------------------------------------------------------*/ 24 // 斐波那契数列查找 25 int Fibonacci_Search(int *a, int n, int key) 26 { 27 int low = 1; // 定义最低下标为记录首位 28 int high = n; // 定义最高下标为记录末位（一般输入的参数n必须是数组的个数减一） 29 30 int F[MAXSIZE]; 31 Fibonacci(F); // 确定斐波那契数列 32 33 int k = 0, mid = 0; 34 // 查找n在斐波那契数列中的位置，为什么是F[k]-1，而不是F[k]？ 35 while (n > F[k]-1) 36 { 37 k++; 38 } 39 // 将不满的数值补全 40 for (int i = n; i < F[k]-1; ++i) 41 { 42 a[i] = a[high]; 43 } 44 // 查找过程 45 while (low <= high) 46 { 47 mid = low + F[k-1] - 1; // 为什么是当前分割的下标？ 48 if (key < a[mid]) // 查找记录小于当前分割记录 49 { 50 high = mid - 1; 51 k = k - 1; // 注意:思考这里为什么减一位？ 52 } 53 else if (key > a[mid]) // 查找记录大于当前分割记录 54 { 55 low = mid + 1; 56 k = k - 2; // 注意:思考这里为什么减两位？ 57 } 58 else 59 { 60 return (mid <= high) ? mid : n; // 若相等则说明mid即为查找到的位置； 若mid > n 说明是补全数值，返回n 61 } 62 } 63 return -1; 64 } 65 void main() 66 { 67 int a[MAXSIZE] = {0,1,16,24,35,47,59,62,73,88,99}; 68 int k = 0; 69 cout << "请输入要查找的数字:" << endl; 70 cin >> k; 71 int pos = Fibonacci_Search(a, MAXSIZE-1, k); 72 if (pos != -1) 73 cout << "在数组的第"<< pos+1 <<"个位置找到元素:" << k; 74 else 75 cout << "未在数组中找到元素:" << k; 76 }
若结合以上相关分析深入理解代码。
Good Good Study, Day Day Up.
顺序 选择 循环 总结
