数据结构图之二（最小生成树--普里姆算法）
【1】什么是最小生成树？
对于连通的带权图(连通网)G，其生成树也是带权的。
生成树T各边的权值总和称为该树的权。
权最小的生成树称为G的最小生成树(Minimum SpannirngTree)。简记为MST。
注意：最小是指权值最小
一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它包含全部的顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。
求最小生成树有两种算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法
不好理解？看不懂？能通俗点不？看个实例哈：
假设你是电信实施工程师，需要为一个镇的九个村庄架设通信网络做设计。
村庄位置大致如下图，之间连线的数字表示村与村间的可通达直线距离。
你们领导要求你必须用最小的成本完成这次任务。你说怎么办？
好，这就是很现实的一个最小生成树案例。且听下面详解。
【2】普里姆算法
利用 普里姆算法 要解决如上问题，首先我们构造图的邻接矩阵。如下图所示：
注意：实际中我们用65535来代表无穷大。
关于普里姆算法以及讲解如下图：
针对上面我们遇到的实际案例，普里姆算法执行循环过程如下图：
每次所选最小边分别如 图1-图8 所示：
最后用所有边把各个顶点连通也就是所谓的最小生成树。
【3】普里姆算法的实现
实现代码如下：
1 #include <iostream> 2 #include "SeqList.h" 3 #include <iomanip> 4 using namespace std; 5 6 #define INFINITY 65535 7 8 template<class NameType, class DistType> 9 class Graph 10 { 11 private: 12 SeqList<NameType> Vertices; 13 DistType **Edges; 14 int nVer, nEdges; 15 16 public: 17 Graph() 18 : Edges(NULL) 19 , nEdges(0) 20 , nVer(0) 21 {} 22 ~Graph() 23 {} 24 25 public: 26 27 istream & operator>>(istream &in) 28 { 29 int v, u, value; 30 int i, j; 31 NameType item; 32 cout << "请输入顶点的个数: " << endl; 33 in >> nVer; 34 cout << "请输入顶点的数据信息: " << endl; 35 for (i = 0; i < nVer; ++i) 36 { 37 in >> item; 38 Vertices.push_back(item); // 保存全部顶点 39 } 40 /////二维数组的创建并初始化 41 Edges = new DistType*[nVer]; // DistType *ar[10]; 42 for (i = 0; i < nVer; ++i) 43 { 44 Edges[i] = new DistType[nVer]; 45 for (j = 0; j < nVer; ++j) 46 { 47 Edges[i][j] = 0; 48 } 49 } 50 cout << "请输入边的个数: " << endl; 51 in >> nEdges; 52 cout << "请输入边的信息：" << endl; 53 for (i = 0; i < nEdges; ++i) 54 { 55 in >> v >> u >> value; 56 Edges[v][u] = value; 57 Edges[u][v] = value; 58 } 59 return in; 60 } 61 ostream & operator<<(ostream &out) const 62 { 63 int i, j; 64 out << "顶点信息 " << endl; 65 for (i = 1; i <= nVer; ++i) 66 { 67 out << Vertices[i] << setw(5); 68 } 69 out << endl; 70 out << "矩阵信息：" << endl; 71 out << setw(10); 72 for (i = 1; i <= nVer; ++i) 73 { 74 out << Vertices[i] << setw(5); 75 } 76 out << endl; 77 for (i = 0; i < nVer; ++i) 78 { 79 out << Vertices[i+1] << setw(5); 80 for (j = 0; j < nVer; ++j) 81 { 82 if (0 == Edges[i][j] && i != j) 83 Edges[i][j] = INFINITY; 84 cout << Edges[i][j] << setw(5); 85 } 86 out << endl; 87 } 88 out << endl; 89 90 return out; 91 } 92 // 图采用邻接矩阵存储 最小生成树 普里姆算法 93 void MiniSpanTree() 94 { 95 int min = 0, i = 0, j = 0, k = 0; 96 int* adjvex = new int[nVer]; // 保存相关顶点下标 97 int* lowcost = new int[nVer]; // 保存相关顶点间边的权值 98 lowcost[0] = 0; // 初始化第一个权值为0，即V0已加入生成树 99 //lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 100 adjvex[0] = 0; // 初始化第一个顶点下标为0 101 102 for (i = 1; i < nVer; ++i) //循环除过下标为0外的全部顶点 103 { 104 lowcost[i] = Edges[0][i]; // 将v0顶点与之有边的权值存入数组 105 adjvex[i] = 0; // 并初始化都为v0的下标 106 } 107 108 for (i = 1; i < nVer; ++i) 109 { 110 min = INFINITY; // 初始化最小权值为常数，通常设置为不可能到达的数值 111 k = 0; // 复位 112 113 for (j = 1; j < nVer; ++j) 114 { 115 // 如果两个顶点之间存在边有权值，不为0并且小于min 116 if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min) 117 { 118 min = lowcost[j]; // 缓存最小值 119 k = j; // 将当前最小值的下标缓存入k 120 } 121 } 122 cout << "("<< adjvex[k] << "," << k << ")" << endl; //打印当前顶点边中权值最小的边 123 lowcost[k] = 0; // 将当前顶点的权值设为0，表示此顶点已经完成任务 124 125 for (j = 1; j < nVer; ++j) // 循环所有节点 126 { 127 if (lowcost[j] != 0 && Edges[k][j] < lowcost[j]) 128 { // 若下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 129 lowcost[j] = Edges[k][j]; // 用较小者替换 130 adjvex[j] = k; // 将下标为k的顶点存入adjvex 131 } 132 } 133 } 134 135 delete []adjvex; 136 delete []lowcost; 137 adjvex = NULL; 138 lowcost = NULL; 139 } 140 }; 141 142 template<class NameType, class DistType> 143 istream & operator>>(istream &in, Graph<NameType,DistType> &g) 144 { 145 g >> in; 146 return in; 147 } 148 149 template<class NameType, class DistType> 150 ostream & operator<<(ostream &out, const Graph<NameType,DistType> &g) 151 { 152 g << out; 153 return out; 154 } 155 156 void main() 157 { 158 Graph<char, int> myg; 159 cin >> myg; 160 cout << "打印所有输入信息：" << endl; 161 cout << myg << endl; 162 cout << "最小生成树边信息如下：" << endl; 163 myg.MiniSpanTree(); 164 cout << endl; 165 }
代码中所引用是头文件SeqList.h从随笔《顺序表》拷贝即可，也可以自己另行处理。
Good Good Study, Day Day Up.
顺序 选择 循环 总结
