【算法】简单动态规划——三逆数的O(N^2)解法！

问题描述：

三逆数定义：给一个数的序列A[0,1,....N-1])，当i<j<k且A[i]>A[j]>A[k]时，称作ai,aj,ak为一个三逆数。

现在给定一个长度为N的数组，求此数组序列中存在三逆数的总个数。

本人暂时只想到O(N^2)时间复杂度的解法。不知道还没有没更好更快的解法。（谁有更好的解法，欢迎分享~）

O(N^3)解法： 这个最直观了，直接三层循环进行统计，即可求和三逆数总和。代码太简单了，就略过了~

O(N^2)解法：

1.进行预处理，先用R[1..N]数组记录，R[i]表示在第i个元素后面比第i个元素小的个数之和，此步为基本的动态规划，时间复杂度为O（N^2)。

for(int i = 0; i< N; ++i) R[i] = 0;
for(int i = N-2; i>= 0; i--)
{
　　for(int j = i+1; j <N; ++j)
　　{
　　　　if(A[i] > A[j])  { R[i] = max(R[i], R[j]+1); }　
　　}
}

 

2.二层循环枚举每两个元素，并进行累加求总和。

1 for(int i = 0; i< N; ++i)
2 {
3     for(int j = i+1; j< N; ++j)
4     {
5 　　　　 ans += (A[j] < A[i]) ? 0 : R[j];
6     }
7 }

最后ans就是结果。这步时间也是O(N^2)。

因此整个解法总的时间复杂度还是O(N^2).