2.5.2 样条的魔力

提纲

样条的概念

插值与逼近

连续性条件

样条描述方法

实例：Bezier曲线和曲面

样条的概念

在绘图术语中，样条是通过一组指定点集而生成平滑曲线的柔性带。

样条曲线指有多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续性条件。

样条曲面可以使用两组样条曲线进行描述。在图形学应用中使用几种不同的样条描述。每种描述简单地表示一个带有某种特定边界条件的多项式的特殊类型。

样条用于设计曲线和曲面形状，将绘制的图形数字化及场景中对象的动画路径或照相机位置。

 

 

 

 

 

插值与逼近样条

给定一组称为控制点的坐标点，可以得到一条样条曲线，这些点给出了曲线的大致形状。两种方法选取分段连续参数多项式函数：

当选取的多项式使得曲线通过每个控制点，则所得曲线称为这组控制点的插值（interpolate）样条曲线

当选去的多项式使得部分或者全部控制点都不在生成的曲线上，所得曲线称为这组控制点的逼近（approximate）样条曲线

 

 

建立和修改曲线的方法：

 

• 

 

凸壳的概念和作用

 

• 

 

 控制图

 

• 

   

   

  
  
  

 

 

连续性条件

样条的参数坐标函数形式

 

为了保证分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡，可以在连接点要求各种连续性条件。这里有参数连续性和几何连续性。

 参数连续性

 

几何连续性

 

 

 

样条描述方法

给定多项式和的阶和控制点后，给出一条具体的样条表达式有三个等价方法：

1.给出一组加在样条上的边界条件

2.列出描述样条特征的行列式

3.列出一组混合函数或基函数（blending functions or basic functions），确定如何组合指定的曲线几何约束，以及计算曲线路径上的位置

 

 

 

 

 

 

 曲面描述

 

 

 

 

实例：Bezier曲线和曲面

 Bezier曲线公式

 

 

 

 

 

Bezier曲线特性分析

1.曲线总是通过第一个和最后一个控制点

 

2.曲线始点处的切线落在头两个控制点的连线上，曲线终点处的切线落在后两个控制点的连线上

 

 

3.曲线落在控制点的凸壳内

 

 

Bezier曲线的设计技术

1.封闭曲线，第一个的最后一个点重合

2.多个控制点位于同一个位置可以更多加权

3.两段的拼接：由两个Bezier曲线段形成的分段逼近曲线。使得第一条曲线的最后两个点和第二个曲线的前两个点共线，可以得到两条曲线段之间的0阶和一阶连续性、

 

 

 

 

 典型Bezier曲线。。。

 

Bezier曲面的定义

 

曲面实例

 

Bezier曲面的拼接