拓扑学基础

拓扑学基础

1. 拓扑空间 $(X,\mathcal{T})$：$\varnothing ,X\in \mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)$ 且对任意并、有限交封闭

2. $x$ 的邻域系 $\mathcal{U}(x)$：以包含 $x$ 的某个开集为子集的集合全体

3. 子集 $A$ 的点 $x$ 的分类（依赖拓扑及全空间的选取）

   • 内点（内部 $A^{\circ }$）：$x\in X,A\in \mathcal{U}(x)$
   • 边界点（边界 $A^b$）：$x\notin A^e$ 且 $x\notin A^{\circ }$
   • 外点（外部 $A^e$）：$A$ 的补集 $A^c$ 的内点
   • 接触点（闭包 $\bar{A}$）：对任意 $U\in \mathcal{U}(x)$，恒有 $U\bigcap A\ne \varnothing ⟺A$ 中有网收敛到 $x$
   • 极限点（聚点，导集 $A^{\prime }$）：对任意 $U\in \mathcal{U}(x)$，恒有 $U\bigcap (A\setminus \{x\})\ne \varnothing$
     • ω 聚点：含有 $x$ 的任一开集必含有 $A$ 的无穷多个点
       • 凝聚点：含有 $x$ 的任一开集必含有 $A$ 中不可数个点
   • 孤立点（$A^i$）：$x\in A$ 且存在 $V\in \mathcal{A}(x)$，使得 $V\bigcap A=\{x\}$
   • $X=\bar{A}\cup A^e,\bar{A}=A^b\cup A^{\circ }=A^{\prime }\cup A^i$
   • $A^{\prime }$ 恒为闭集 $⟺\{x{\}}^{\prime }$ 恒为闭集

4. 子集 $A$ 的性质（依赖拓扑及全空间的选取）

   • 闭集：某个开集的补集 $⟺A^{\prime }\subset A⟺A=\bar{A}$
   • 完备集：$A=A^{\prime }$
   • $A$ 在 $B$ 中稠密：$B\subset \bar{A}$
   • $A$ 在 $X$ 中无处稠密：$(\bar{A}{)}^{\circ }=\varnothing$
   • 第一纲集：可数个无处稠密集的并集
   • 第二纲集：非第一纲集
     • Baire 空间：$X$ 的任意非空开集都是 $X$ 的第二纲集
   • $G_{\delta }$ 集：可以表示为可数个开集的交
   • $F_{\sigma }$ 集：可以表示为可数个闭集的并
     • $A$ 是 $X$ 的 $G_{\delta }$ 集 $⟺X\setminus A$ 是 $X$ 的 $F_{\sigma }$ 集

5. 映射 $f:(X,\mathcal{T})\to (Y,\mathcal{Y})$ 的性质

   • 单射：任意两个不同的点有不同的像
   • 满射：$Y$ 内每一点必是 $X$ 内某一点的像
   • 连续映射：开集的原像是开集 $⟺$ 闭集的原象是闭集 $⟺$ 拓扑（子）基的原象是开集
   • 同胚映射：连续双射且逆映射连续 $⟺$ 连续双射 + 开 $⟺$ 连续双射 + 闭
   • 开映射：开集的原像是开集
   • 闭映射：闭集的原像是闭集
   • 序列连续映射：对任意 $x_n\to x$，必有 $f(x_n)\to f(x)$

6. 拓扑空间的生成：拓扑子基 $\mathcal{V}\stackrel{\mathrm{有}\mathrm{限}\mathrm{交}}{⟶}$ 拓扑基 $\mathcal{B}\stackrel{\mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{并}}{⟶}$ 拓扑 $\mathcal{T}$

   • $x$ 的邻域基 ${\mathcal{N}}_x$：$\mathrm{\forall }U\in {\mathcal{U}}_x,\mathrm{\exists }V\in {\mathcal{N}}_x,\text{s.t.}x\in V\subset U$
   • 若 $\mathcal{B}$ 是 $X$ 的拓扑基，则 ${\mathcal{B}}_x:=\{B\in \mathcal{B}|x\in B\}$ 是 $x$ 的邻域基。
   • 如果一个集族 $\mathcal{B}$ 满足：（1）：$X={\displaystyle \bigcup _{B\in \mathcal{B}}B}$；（2）：$\mathrm{\forall }{B}_1,B_2\in \mathcal{B},x\in B_1\cap B_2,\mathrm{\exists }B\in \mathcal{B}\text{s.t.}x\in B\subset B_1\cap B_2$，那么存在唯一的拓扑以 $\mathcal{B}$ 为基。

7. 非空集 $A$ 上的二元关系 $\preccurlyeq$

   • 预序集 $(A,\preccurlyeq )$：1 + 2
   • 定向集 $(A,\preccurlyeq )$：1 + 2 + 3
   • 偏序集 $(A,\preccurlyeq )$：1 + 2 + 4
   • 全序集 $(A,\preccurlyeq )$：1 + 2 + 4 + 5
   1. 自反：$(\mathrm{\forall }a\in A)a\preccurlyeq a$
   2. 传递：$(\mathrm{\forall }a\in A)(\mathrm{\forall }b\in A)(\mathrm{\forall }c\in A)[a\preccurlyeq b,b\preccurlyeq c]⟹a\preccurlyeq c$
   3. 公共大元：$(\mathrm{\forall }a\in A)(\mathrm{\forall }b\in A)(\mathrm{\exists }c\in A)a\preccurlyeq c\text{ 且 }b\preccurlyeq c$
   4. 反对称：$(\mathrm{\forall }a\in A)(\mathrm{\forall }b\in A)[a\preccurlyeq b,b\preccurlyeq a]⟹a=b$
   5. 两两可比较：$(\mathrm{\forall }a\in A)(\mathrm{\forall }b\in A)a\preccurlyeq b\text{ 或 }b\preccurlyeq a$

8. 收敛性

   • 集 $X$ 中的网 $(x_a{)}_{a\in A}$（广义序列） ：定向集 $(A,\preccurlyeq )$ 到集 $X$ 的映射
   • 集 $X$ 中的序列 $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$：定向集 $(A,\preccurlyeq )$ 取 $(\mathbb{N},⩽)$ 的网
     • $[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ 中网 $(x_a{)}_{a\in A}$ 的上 / 下极限（limit superior/inferior）
       • $\overline{lim}{x}_a=lim sup{x}_a={\displaystyle \underset{a\in A}{inf}{\displaystyle \underset{b\in A,a\preccurlyeq b}{sup}{x}_b}}$
       • $\underset{―}{lim}{x}_a=lim inf{x}_a={\displaystyle \underset{a\in A}{sup}\underset{b\in A,a\preccurlyeq b}{inf}{x}_b}$
     • 网 $(x_a{)}_{a\in A}$ 的极限点（$x\in \lim x_a$）：任给 $U\in \mathcal{U}(x),x_a$ 终在 $U$ 中
       • $(\mathrm{\exists }c\in A)(\mathrm{\forall }a\in A)a\succcurlyeq c⟹x_a\in U$
     • 网 $(x_a{)}_{a\in A}$ 的$\mathrm{聚}\mathrm{点}$（$x\in \mathrm{clust}{x}_a$）：$(x_a{)}_{a\in A}$ 有$\mathrm{子}\mathrm{网}$收敛到 $x⟺$ 任给 $U\in \mathcal{U}(x),x_a$ 常在 $U$ 中
       • $(\mathrm{\forall }c\in A)(\mathrm{\exists }a\in A)a\succcurlyeq c\text{ 且 }{x}_a\in U$
     • 网 $(x_a{)}_{a\in A}$ 的$\mathrm{序}\mathrm{列}\mathrm{聚}\mathrm{点}$（$x\in \mathrm{sclust}{x}_a$）：$(x_a{)}_{a\in A}$ 有$\mathrm{子}\mathrm{序}\mathrm{列}$收敛到 $x$
     • 网 $(x_a{)}_{a\in A}$ 的子网 $(x_{k_b}{)}_{b\in B}$：$(\mathrm{\forall }a\in A)(\mathrm{\exists }d\in B)(\mathrm{\forall }b\in B)b\succcurlyeq d⟹k_b\succcurlyeq a$
     • 序列 $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ 的子序列 $(x_{k(n)}{)}_{n\in \mathbb{N}}$：$k:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ 严格单增
     • 超网（ultranet）：任给 $X$ 的子集 $A,x_a$ 要么终在 $A$，要么终在 $A$ 的补集 $X\setminus A$（该定义不依赖拓扑）
       • 超网的子网是超网
       • 超网的每个聚点都是极限点
       • 任意网均有子网是超网
     • 序列的子网不一定是子序列（$k$ 可以有多条单增的强制链）
   • $x\in \bar{A}⟺$ 存在 $A$ 中的网收敛于 $x$
     • 网的收敛能完全描述闭包算子，因此能完全描述 $X$ 的拓扑结构
   • $\mathrm{sclust}{x}_a\subset \mathrm{clust}{x}_a\subset \overline{\{x_a{\}}_{a\in A}}$
     • 网【序列】的元素有无穷【可数】序，但构成的集合可能为有限集
   • 乘积空间中网的收敛为按分量收敛

9. 拓扑空间 $(X,\mathcal{T})$ 的子集 $U$ 称为 $(X,\mathcal{T})$ 的序列开集，若任给 X 的序列 $\{x_n\}$，只要 $\{x_n\}$ 收敛于 $x\in U$，则 $\{x_n\}$ 终在 $U$ 中；

   • $X$ 的全体序列开集 $s(\mathcal{T})$ 构成 $X$ 上的一个比 $\mathcal{T}$ 细的拓扑
   • 拓扑空间 $(X,\mathcal{T})$ 称为序列空间 $(SS)$，若 $\mathcal{T}=s(\mathcal{T})$，即 $(X,\mathcal{T})$ 的序列开集都是开集
   • 序列闭集：集合中任意收敛序列的极限点（序列闭包）都在该集合中
   • $C_1⟹SS$
   • 序列空间中网性质均可以用序列性质代替，如网的序列聚点，序列（下半）连续等

10. 拓朴不变量（拓扑性质）：两个同胚的拓扑空间之间相同的内秉性质

    • 任何只用开集和闭集描述的性质都是拓扑性质
    • 分离性
      • 点与点的分离
        • $T_0$：任意不同两点中有一点能用开集将其与另外一点分离 $⟺$ 任意不同两点的闭包不相同
        • $T_1$：任意不同两点中每一点均能用开集将其与另外一点分离 $⟺$ 任意单点集是闭集
          • $T_1⟹\{x{\}}^{\prime }=\varnothing$ + （极限点 = ω 聚点）
        • $T_2$（Hausdorff）：任意不同的两点均能用两个不交开集分离 $⟺\{(x,x)\mid x\in X\}$ 是乘积空间 $X\times X$ 的闭子集 $⟺$ 任意网至多有一个极限点
        • $T_{2.5}$（完全 Hausdorff）：对于 $X$ 的任意相异两点 $x,y$，有 $U\in \mathcal{U}(x),V\in \mathcal{U}(x)$,使得 $\bar{U}\cap \bar{V}=\varnothing$
      • 点与闭集的分离
        • $T_3$：$T_1$ + 正则
          • 正则：任一闭集及不属于该闭集的点均能用两个不交开集分离 $⟺$ 任给 $X$ 中开集 $U$ 以及 $x\in U$，存在开集 $V$ 使得 $x\in V\subseteq \bar{V}\subseteq U$
        • $T_{3.5}$（吉洪诺夫，Tychonoff）：$T_1$ + 完全正则
          • 完全正则：任给 $X$ 的闭集 $F$ 以及 $x\notin F$，存在连续函数 $f:X\to [0,1]$ 使得 $f(x)=0,f(F)=\{1\}$
      • 闭集与闭集的分离
        • $T_4$：$T_1$ + 正规
          • 正规：任意两个不交闭集均能用两个不交开集分离 $⟺$ 任给 $X$ 中开集 $U$ 以及闭集 $F$，若 $F\subseteq U$，则存在开集 $V$ 使得 $F\subseteq V\subseteq \bar{V}\subseteq U$
          • Urysohn 引理：拓扑空间 $X$ 正规 $⟺$ 任给 $X$ 的不交的非空闭集 $A,B$，存在连续函数 $f:X\to [0,1]$ 使得 $f(A)=\{0\},f(B)=\{1\}.$
      • 分离集合 $A,B$（$\bar{A}\cap B=\varnothing =A\cap \bar{B}$）的分离
        • $T_5$：$T_1$ + 完全正规
          • 完全正规：任意两个分离集均能用两个不交开集分离 $⟺$ 任意子空间正规
      • $T_5⟹T_4⟹T_{3.5}⟹T_3⟹T_{2.5}⟹T_2⟹T_1⟹T_0$
      • 完全正则 $⟹$ 正则，完全正规 $⟹$ 正规
      • 正则 + 正规 $⟹$ 完全正则
      • Lindelof + 正则 $⟹$ 正规
    • 可数性
      • 第一可数 $(C_1)$：任意一点均有可数邻域基
      • 第二可数 $(C_2)$：存在可数拓扑基
      • 可分 $(S)$：存在可数稠密子集
      • $C_2⟹C_1$，$S$，Lindelof
    • 紧致性
      • 紧：任意开覆盖均有有限子覆盖 $⟺$ 任意满足有限交性质的闭集族有非空的交 $⟺$ 任意网有收敛子网（有聚点）$⟺$ 任意超网均收敛 $⟺$ 任意开覆盖有有限加细
        • 紧性（趋于偏弱）和 Hausdorff 性质（趋于偏强）彼此“对偶”：
          • 如果 $(X,\mathcal{T})$ 是紧空间，那么
            • $X$ 中的闭子集都是紧集
            • ${\mathcal{T}}^{\prime }\subset \mathcal{T}⟹(X,{\mathcal{T}}^{\prime })$ 是紧空间
          • 如果 $(X,\mathcal{T})$ 是 Hausdorff 空间，那么
            • $X$ 中的紧子集都是闭集
            • $\mathcal{T}\subset {\mathcal{T}}^{\prime }⟹(X,{\mathcal{T}}^{\prime })$ 是 Hausdorff 空间
        • 从紧致空间 $X$ 到 Hausdorff 空间 $Y$ 的连续双射是同胚映射
        • 紧 Hausdorff 拓扑之间不可比较
      • 序列紧：任意序列有收敛子序列（有序列聚点）
      • 子集紧（极限点紧，弱可数紧）：任意无穷子集必有极限点（导集非空）
      • 可数紧：任意可数开覆盖均有有限子覆盖 $⟺$ 任意单减非空闭集列有非空的交（闭集套）$⟺$ 任意无穷子集必有 ω 聚点 $⟺$ 任意序列有收敛子网（有聚点）
      • Lindelof：任意开覆盖均有可数子覆盖
      • 局部紧
        • 局部紧 a：任意一点均有紧邻域
        • 局部紧 b（强局部紧）：任意一点均有闭的紧邻域 $⟺$ 任意一点均含于某个具有紧闭包的开集
        • 局部紧 c：任意一点均有紧邻域基
        • 强局部紧 $\text{xleftrightharpoons}+T_2$ 局部紧 a $\text{xleftrightharpoons}[+T_2]$ 局部紧 c
      • 仿紧：任意开覆盖有局部有限开加细
      • 紧 + 正则 $⟹$ 局部紧 c
      • 可数紧 + Lindelof $⟺$ 紧 $⟹$ 强局部紧 + 仿紧
      • 序列紧 $\text{xleftrightharpoons}+SS$ 可数紧 $\text{xleftrightharpoons}+T_1$ 子集紧
      • $C_2⟹$（紧 = 可数紧 = 序列紧）
    • 连通性
      • 连通：不能写成两个非空不交开集的并 $⟺$ 既开又闭集只有 $\varnothing$ 与 $X⟺X$ 到离散空间的连续映射是常值映射
        • 连通子集的闭包连通
        • 连续函数介值定理：设 $X$ 是连通空间，$f:X\to \mathbb{R}$ 连续，若存在 $x,y\in X$ 使得 $f(x)<a<f(y)$，则存在 $z\in X,f(z)=a.$
        • 连通分支：极大连通子集（一定闭）
      • 局部连通：任意一点均有连通邻域基 $⟺$ 存在连通拓扑基 $⟺$ 任意开子集的连通分支必是开集
      • 道路连通：任意两点间总存在道路连接
        • 从 $x$ 到 $y$ 的道路 $\alpha :[0,1]\to X$：$\alpha$ 连续并且 $\alpha (0)=x,\alpha (1)=y$
        • 道路连通分支；极大道路连通子集
      • 局部道路连通：任意一点均有道路连通的邻域基 $⟺$ 存在道路连通拓扑基 $⟺$ 任意开子集的道路连通分支必是开集
    • Baire 空间：任意非空开集都是第二纲集 $⟺$ 可数个开的稠子集的交是稠子集
      • 完备度量空间是 Baire 空间
      • 紧 Hausdorff 空间是 Baire 空间
    • 可度量化：存在 $X$ 上的度量 $d$ 使得 $\mathcal{T}={\mathcal{T}}_d$，即 $d$ 诱导拓扑 $\mathcal{T}$
      • 可度量化 $⟹T_5$ + $C_1$ +（$C_2$ = $S$ = Lindelof）
      • 可度量化 $⟹$（紧 = 可数紧 = 序列紧 = 子集紧）
      • Urysohn 度量化定理：$C_2$ + $T_3⟹$ 可度量化
      • Nagata- Smirnov 度量化定理：可度量化 $⟺T_3$ + 存在 $\sigma$ 局部有限基
      • 度量空间 $X$ 的性质
        • （完）全有界：对任意 $\epsilon >0$，都存在有限多个半径为 $\epsilon$ 的球覆盖 $X⟺$ 对任意 $\epsilon >0$，$X$ 中都存在有限 $\epsilon$ 网 $N_{\epsilon }$
        • 完备：任意 Cauchy 序列均收敛
        • 紧 $⟺$ 完全有界 + 完备
    • 拓扑完备：可完备度量化 $⟺$ 同胚于某紧 Hausdorff 空间的一个可度量化的 $G_{\delta }$ 集
    • 
    • 基本群

11. 代数结构、拓扑结构的等价

    • 同态（Homomorphism）：$f(a)f(b)=f(ab)$（保持代数结构）
    • 同构（Isomorphism）：一一对应的同态
    • 同胚（Homeo(morphism)）：$f$ 连续、双射且逆映射连续（保持拓扑结构）