拓扑学基础
基本概念
拓扑空间 \((X, \mathcal{T})\) ：集合 \(X\) 赋予拓扑结构 \(\mathcal{T}\subseteq\mathcal{P}(X)\) ，满足 \(\varnothing, X\in \mathcal{T}\) 且对任意并、有限交封闭，\(\mathcal{T}\) 中元素称为开集
\(x\) 的邻域系 \(\mathcal{N}_x\) ：以包含 \(x\) 的某个开集为子集的集合全体\(\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))\) 上子集族的加细关系 \(\mathcal{A} \prec \mathcal{A}'\) ：\(\forall V \in \mathcal{A}', \exists U \in \mathcal{A} \ \text{s.t.}\ V \subseteq U\)
拓扑 \(\mathcal{T}\) 任意并封闭，进而有 \(\mathcal{T} \prec \mathcal{T}'\iff \mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}'\)
滤子 \(\mathcal{F}\) 向上封闭，进而有 \(\mathcal{F} \prec \mathcal{F}'\iff \mathcal{F} \subseteq \mathcal{F}'\)
子集 \(A\subseteq (X,\mathcal{T})\) 的点 \(x\) 的分类（依赖全空间及其拓扑的选取）
内点（内部 \(A^\circ\) ）：\(\exists U\in\mathcal{N}_x,U\subseteq A\iff A\in\mathcal{N}_x\)
外点（外部 \(A^e\) ）：\(A^c\) 的内点
接触点（闭包 \(\overline{A}\) ）：\(\forall U\in\mathcal{N}_x: U\bigcap A\neq\varnothing\iff A\) 中有网收敛到 \(x\iff\) 存在包含 \(A\) 的滤子 \(\mathcal{F}\) 收敛到 \(x\)
边界点（边界 \(A^b\) ）：\(x\in \overline{A}\) 但 \(x\not\in A^\circ\)
极限点/聚点（导集 \(A^{\prime}\) ）：\(\forall U\in\mathcal{N}_x: U\bigcap \big(A\setminus\{x\}\big)\neq\varnothing\)
ω 聚点：含有 \(x\) 的任一开集必含有 \(A\) 的无穷多个点
凝聚点：含有 \(x\) 的任一开集必含有 \(A\) 中不可数个点
\(A^\prime\) 恒为闭集 \(\iff \{x\}^\prime\) 恒为闭集
孤立点（\(A^i\) ）：\(x\in A\) 且 \(\exists U\in\mathcal{N}_x\ \text{s.t.}\ U\bigcap A=\{x\}\)
\(X=\overline{A} \cup A^e, \overline{A}=A^b\cup A^\circ=A^\prime\cup A^i\)
子集 \(A\subseteq (X,\mathcal{T})\) 的性质（依赖全空间及其拓扑的选取）
闭集：某个开集的补集 \(\iff A^{\prime}\subset A\iff A=\overline{A}\)
完备集：\(A=A^{\prime}\)
相对紧集/预紧集/准紧集：\(\overline{A}\) 在 \(X\) 中紧
\(A\) 在 \(B\) 中稠密：\(B\subset\overline{A}\) \(A\) 在 \(X\) 中无处稠密：\((\overline{A})^\circ=\varnothing\) 第一纲集：可数个无处稠密集的并集
第二纲集：非第一纲集
\(G_\delta\) 集：可以表示为可数个开集的交\(F_\sigma\) 集：可以表示为可数个闭集的并
\(A\) 是 \(X\) 的 \(G_\delta\) 集 \(\iff X\setminus A\) 是 \(X\) 的 \(F_\sigma\) 集
映射 \(f:(X, \mathcal{T})\to (Y, \mathcal{Y})\) 的性质
单射：任意两个不同的点有不同的像
满射：\(Y\) 内每一点必是 \(X\) 内某一点的像
连续映射：开集的原像是开集 \(\iff\) 闭集的原象是闭集 \(\iff\) 拓扑（子）基的原象是开集
同胚映射：连续双射且逆映射连续 \(\iff\) 连续双射 + 开 \(\iff\) 连续双射 + 闭
开映射：开集的原像是开集
闭映射：闭集的原像是闭集
序列连续映射：对任意 \(x_n\to x\) ，必有 \(f(x_n)\to f(x)\)
拓扑空间的生成：拓扑子基 \(\mathcal{S}\overset{有限交}{\longrightarrow}\) 拓扑基 \(\mathcal{B}\overset{任意并}{\longrightarrow}\) 拓扑 \(\mathcal{T}\)
\(x\) 的邻域基 \(\mathcal{B}_x\) ：\(\forall U\in \mathcal{N}_x, \exists V\in \mathcal{B}_x,\ \text{s.t.}\ x\in V\subset U\)
\(x\) 的邻域子基 \(\mathcal{S}_x\overset{有限交}{\longrightarrow} x\) 的邻域基 \(\mathcal{B}_x\overset{向上填充}{\longrightarrow} x\) 的邻域系 \(\mathcal{N}_x\)
若 \(\mathcal{B}\) 是 \(X\) 的拓扑基，则 \(\mathcal{B}_x:=\{B\in\mathcal{B}|x\in B\}\) 是 \(x\) 的邻域基
如果一个集族 \(\mathcal{B}\) 满足：\(X=\displaystyle\bigcup_{B\in\mathcal{B}} B\) 且 \(\forall B_1, B_2\in \mathcal{B} , x\in B_1\cap B_2, \exists B\in \mathcal{B} \ \text{s.t.}\ x\in B\subset B_1\cap B_2\) ，那么存在唯一的拓扑以 \(\mathcal{B}\) 为基
非空集 \(A\) 上的二元关系：\(R \subseteq A \times A\)
等价关系 \(\sim\) ：自反，对称，传递
自反：\(\forall a\in A：a\preccurlyeq a\)
对称：\(\forall a,b\in A,a\preccurlyeq b\implies b\preccurlyeq a\)
传递：\(\forall a,b,c\in A,a\preccurlyeq b, b\preccurlyeq c\implies a\preccurlyeq c\)
预序集 \((A, \preccurlyeq)\) ：自反，传递
定向集 \((A, \preccurlyeq)\) ：自反，传递，公共大元
公共大元：\(\forall a,b\in A,\exists c\in A\ \text{s.t.}\ a\preccurlyeq c \ \text{且}\ b\preccurlyeq c\)
偏序集 \((A, \preccurlyeq)\) ：自反，传递，反对称
反对称：\(\forall a,b\in A,a\preccurlyeq b, b\preccurlyeq a\implies a=b\)
全序集 \((A, \preccurlyeq)\) ：自反，传递，反对称，两两可比较
两两可比较：\(\forall a,b\in A:a\preccurlyeq b\text{ 或 }b\preccurlyeq a\)
收敛性
集 \(X\) 上的网 \((x_a)_{a\in A}\) ：定向集 \((A, \preccurlyeq)\) 到集 \(X\) 的映射
序列的直接推广，又称广义序列
网 \((x_a)_{a\in A}\) 的子网 \((x_{k_b})_{b\in B}\) ：\(\forall a\in A,\exists d\in B\ \text{s.t.}\ \forall b\in B,b\succcurlyeq d:k_b\succcurlyeq a\)
\([-\infty,+\infty]\) 中网 \((x_a)_{a\in A}\) 的上 / 下极限（limit superior/inferior）
\(\overline{\lim} \ x_a=\limsup x_a=\displaystyle \inf_{a\in A}\displaystyle\sup_{b\in A, a\preccurlyeq b}x_b\) \(\underline{\lim}\ x_a=\liminf x_a=\displaystyle\sup_{a\in A}\inf_{b\in A, a\preccurlyeq b}x_b\)
网 \((x_a)_{a\in A}\) 的极限点（\(x\in \operatorname{lim}x_a\) ）：任给 \(U\in \mathcal{N}_x, x_a\) 终在 \(U\) 中
\(\exists c\in A\ \text{s.t.}\ \forall a\in A,a\succcurlyeq c: x_a\in U\)
网 \((x_a)_{a\in A}\) 的\(\textcolor{blue}{聚点}\) （\(x\in \operatorname{clust}x_a\) ）：\((x_a)_{a\in A}\) 有\(\textcolor{blue}{子网}\) 收敛到 \(x\iff\) 任给 \(U\in \mathcal{N}_x, x_a\) 常在 \(U\) 中
\(\forall c\in A,\exists a\in A\ \text{s.t.}\ a\succcurlyeq c\ \text{且}\ x_a\in U\)
网 \((x_a)_{a\in A}\) 的\(\textcolor{blue}{序列聚点}\) （\(x\in \operatorname{sclust}x_a\) ）：\((x_a)_{a\in A}\) 有\(\textcolor{blue}{子序列}\) 收敛到 \(x\)
超网（ultranet）：任给 \(X\) 的子集 \(A, x_a\) 要么终在 \(A\) ，要么终在 \(A\) 的补集 \(X\setminus A\) （该定义不依赖拓扑）
超网的子网是超网
超网的每个聚点均是极限点
任意网均有子网是超网
\((X,\mathcal{T})\) 上的序列 \((x_n)_{n\in \mathbb{N}^+}\) ：定向集 \((A, \preccurlyeq)\) 取 \((\mathbb{N}^+, \leqslant)\) 的网
序列 \((x_n)_{n\in \mathbb{N}^+}\) 的子序列 \((x_{k(n)})_{n\in \mathbb{N}^+}\) ：\(k:\mathbb{N}^+\to \mathbb{N}^+\) 严格单增
序列的子网不一定是子序列（\(k\) 可以有多条单增的强制链）
\(x\in\overline{A}\iff\) 存在 \(A\) 中的网收敛于 \(x\)
网的收敛能完全描述闭包算子，因此能完全描述 \(X\) 的拓扑结构
\(\operatorname{sclust}x_a\subset\operatorname{clust}x_a\subset\overline{\{x_a\}_{a\in A}}\)
网（序列）的元素有无穷（可数）序，但构成的集合可能为有限集
乘积空间中网的收敛为按分量收敛
集 \(X\) 上的滤子：非空且不含空集、向上封闭的子集族 \(\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)\)
集合族的抽象，与网完全等价的拓扑描述语言
给定网 \((x_a)_{a\in A}\) ，其尾部集合 \(B_a = \{x_b \mid b \succcurlyeq a\}\) 构成一个滤子基，进而生成该网的导出滤子
给定滤子 \(\mathcal{F}\) ，令有向集 \(D = \{(a, A) \mid a \in A \in \mathcal{F}\}\) ，序定义为 \((a, A) \preccurlyeq (b, B) \iff B \subseteq A\) ，则 \((x_{(a,A)})_{(a,A)\in D}\) 是一个网
滤子子基 \(\mathcal{S}\overset{有限交}{\longrightarrow}\) 滤子基 \(\mathcal{B}\overset{向上填充}{\longrightarrow}\) 滤子 \(\mathcal{F} = \{A \subseteq X \mid \exists B \in \mathcal{B}, B \subseteq A\}\)
滤子子基 \(\mathcal{S}\subseteq \mathcal{P}(X)\) ：非空且不含空集 ，有限交非空性
滤子基 \(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)\) ：非空且不含空集 ，向下有向性（\(\forall B_1, B_2 \in \mathcal{B},\exists B_3 \in \mathcal{B}\ \text{s.t.}\ B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\) ）
特例：邻域基生成领域系
超滤子：滤子中的极大元（不真包含在任意滤子中的滤子）
超滤子引理：任意滤子均可被加细为超滤子
二分性：任意子集与其补集有且仅有一个属于超滤子
滤子 \(\mathcal{F}\) 的极限点（\(x \in \operatorname{lim} \mathcal{F}\) ）：\(\mathcal{N}_x \subseteq \mathcal{F}\)
滤子 \(\mathcal{F}\) 的\(\textcolor{blue}{聚点}\) （\(x\in \operatorname{clust}\mathcal{F}\) ）：\(\forall U \in \mathcal{N}_x, \forall F \in \mathcal{F}, U \cap F \neq \varnothing\iff\) 存在 \(\mathcal{F}\) 的加细滤子收敛到 \(x\)
\((X,\mathcal{T})\) 的序列开集 \(U\) ：收敛于 \(x\in U\) 的序列 \(\{x_n\}\subset X\) 终在 \(U\) 中
\(X\) 的全体序列开集 \(s(\mathcal{T})\) 构成 \(X\) 的一个比 \(\mathcal{T}\) 细的拓扑拓扑空间 \((X,\mathcal{T})\) 称为序列空间 \((SS)\) ，若 \(\mathcal{T}=s(\mathcal{T})\) ，即 \((X,\mathcal{T})\) 的序列开集均是开集
序列闭集：集合中任意收敛序列的极限点均在该集合中
\(C_1\implies SS\) 序列空间中网性质均可以用序列性质代替，如网的序列聚点，序列（下半）连续等
拓扑不变量
拓朴不变量 （拓扑性质）：两个同胚的拓扑空间之间相同的内秉性质
非空子集 \(A\subseteq (X,\mathcal{T})\) 具有拓扑性质 \(\mathcal{P}\) ，是指将 \(A\) 赋予子空间拓扑 \(\mathcal{T}_A = \{ U \cap A \mid U \in \mathcal{T} \}\) 后，拓扑空间 \((A, \mathcal{T}_A)\) 满足性质 \(\mathcal{P}\) ，如紧集、连通集等
任何只用开集和闭集描述的性质均是拓扑性质
分离性
点与点的分离
\(T_0\) ：任意不同两点中有一点能用开集将其与另外一点分离 \(\iff\) 任意不同两点的闭包不相同\(T_1\) ：任意不同两点中每一点均能用开集将其与另外一点分离 \(\iff\) 任意单点集是闭集
\(T_1\implies \{x\}^\prime=\varnothing\) +（极限点 = ω 聚点）
\(T_2\) （Hausdorff）：任意不同的两点均能用两个不交开集分离 \(\iff\{(x,x)\mid x\in X\}\) 是乘积空间 \(X\times X\) 的闭子集 \(\iff\) 任意网/滤子至多有一个极限点\(T_{+5}\) （完全 Hausdorff）：对于 \(X\) 的任意相异两点 \(x,y\) ，有 \(U\in\mathcal{N}_x, V\in\mathcal{N}_x\) ,使得 \(\overline{U}\cap \overline{V}=\varnothing\)
点与闭集的分离
\(T_3\) ：\(T_0\) + 正则
正则：任一闭集及不属于该闭集的点均能用两个不交开集分离 \(\iff\) 任给 \(X\) 中开集 \(U\) 以及 \(x\in U\) ，存在开集 \(V\) 使得 \(x\in V\subseteq\overline{V}\subseteq U\)
\(T_{+5}\) （吉洪诺夫，Tychonoff）：\(T_0\) + 完全正则
完全正则：任给 \(X\) 的闭集 \(F\) 以及 \(x\not\in F\) ，存在连续函数 \(f:X\rightarrow[0,1]\) 使得 \(f(x)=0, f(F)=\{1\}\)
闭集与闭集的分离
\(T_4\) ：\(T_1\) + 正规
正规：任意两个不交闭集均能用两个不交开集分离 \(\iff\) 任给 \(X\) 中开集 \(U\) 以及闭集 \(F\) ，若 \(F\subseteq U\) ，则存在开集 \(V\) 使得 \(F\subseteq V\subseteq\overline{V}\subseteq U\)
Urysohn 引理：拓扑空间 \(X\) 正规 \(\iff\) 任给 \(X\) 的不交的非空闭集 \(A, B\) ，存在连续函数 \(f: X\to [ 0, 1]\) 使得 \(f(A)=\{0\},f(B)=\{1\}\)
分离集 \(A, B\) （\(\overline{A}\cap B=\varnothing=A\cap\overline{B}\) ）的分离
\(T_5\) ：\(T_1\) + 完全正规
完全正规：任意两个分离集均能用两个不交开集分离 \(\iff\) 任意子空间正规
\(T_5\implies T_4\implies T_{+5}\implies T_3\implies T_{+5}\implies T_2\implies T_1\implies T_0\) 完全正则 \(\implies\) 正则，完全正规 \(\implies\) 正规
正则 + 正规 \(\implies\) 完全正则
Lindelof + 正则 \(\implies\) 正规
可数性
第一可数 \((C_1)\) ：任意一点均有可数邻域基
第二可数 \((C_2)\) ：存在可数拓扑基
可分 \((S)\) ：存在可数稠密子集
\(C_2\implies C_1\) ，\(S\) ，Lindelof
紧致性
紧：任意开覆盖均有有限子覆盖 \(\iff\) 任意满足有限交性质的闭集族均有非空的交 \(\iff\) 任意网均有收敛子网（有聚点）\(\iff\) 任意超网/超滤子均收敛 \(\iff\) 任意开覆盖均有有限加细 \(\iff\) 任意滤子均有收敛超/加细滤子（有聚点）
紧性（趋于偏弱）和 Hausdorff 性质（趋于偏强）彼此“对偶”：
如果 \((X, \mathcal{T})\) 是紧空间，那么
\(X\) 中的闭子集均是紧集\(\mathcal{T}^\prime\subset\mathcal{T}\implies (X, \mathcal{T}^\prime)\) 是紧空间
如果 \((X, \mathcal{T})\) 是 Hausdorff 空间，那么
\(X\) 中的紧子集均是闭集\(\mathcal{T}\subset\mathcal{T}^\prime\implies (X, \mathcal{T}^\prime)\) 是 Hausdorff 空间
紧空间 \(X\) 到 Hausdorff 空间 \(Y\) 的连续映射是闭映射
紧 + Hausdorff \(\implies T_4\)
紧 Hausdorff 拓扑之间不可比较（互不包含）
紧 Hausdorff 拓扑“恰到好处”：比其严格粗的拓扑紧但不 Hausdorff，比其严格细的拓扑 Hausdorff 但不紧
序列紧：任意序列均有收敛子序列（有序列聚点）
子集紧（极限点紧，弱可数紧）：任意无穷子集必有极限点（导集非空）
可数紧：任意可数开覆盖均有有限子覆盖 \(\iff\) 任意单减非空闭集列有非空的交（闭集套）\(\iff\) 任意无穷子集必有 ω 聚点 \(\iff\) 任意序列有收敛子网（有聚点）
Lindelof：任意开覆盖均有可数子覆盖
局部紧
局部紧 a：任意一点均有紧邻域
局部紧 b（强局部紧）：任意一点均有闭的紧邻域 \(\iff\) 任意一点均含于某个具有紧闭包的开集
局部紧 c：任意一点均有紧邻域基
强局部紧 \(\xleftrightharpoons{+ T_2}\) 局部紧 a \(\xleftrightharpoons[+ T_2]{}\) 局部紧 c
仿紧：任意开覆盖均有局部有限开加细
子集族 \(\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(X)\) 在 \(X\) 中局部有限：\(\forall x \in X, \exists V_x\in\mathcal{N}_x \ \text{s.t.}\ \{ A \in \mathcal{A} \mid V_x \cap A \neq \emptyset \}\) 是有限集
仿紧 + \(T_2\implies\) 正规
Hausdorff 空间仿紧 \(\iff\) 任意开覆盖均有从属于它的单位分解
从属于开覆盖 \(\{U_i\}_{i \in I}\) 的一个单位分解 \(\{f_i: X \to [0, 1]\}_{i \in I}\) ：集族 \(\{\operatorname{supp}(f_i)\}_{i \in I}\) 局部有限，\(\forall i \in I:\operatorname{supp}(f_i) := \overline{\{ x \in X \mid f_i(x) \neq 0 \}} \subseteq U_i\) ，\(\forall x \in X:\sum_{i \in I} f_i(x) = 1\)
Michael 刻画定理：正则空间仿紧 \(\iff\) 任意开覆盖均有 \(\sigma\) 局部有限开加细 \(\iff\) 任意开覆盖均有局部有限（闭）加细
紧 + 正则 \(\implies\) 局部紧 c
可数紧 + Lindelof \(\iff\) 紧 \(\implies\) 强局部紧 + 仿紧
序列紧 \(\xleftrightharpoons{+ SS}\) 可数紧 \(\xleftrightharpoons{+ T_1}\) 子集紧
\(C_2\implies\) （紧 = 可数紧 = 序列紧）
连通性
连通：不能写成两个非空不交开集的并 \(\iff\) 既开又闭集只有 \(\varnothing\) 与 \(X\iff X\) 到离散空间的连续映射是常值映射
连通子集的闭包连通
连续函数介值定理：设 \(X\) 是连通空间，\(f:X\to\mathbb{R}\) 连续，若存在 \(x,y\in X\) 使得 \(f(x)<a<f(y)\) ，则存在 \(z\in X,\:f(z)=a.\)
连通分支：极大连通子集（一定闭）
局部连通：任意一点均有连通邻域基 \(\iff\) 存在连通拓扑基 \(\iff\) 任意开子集的连通分支必是开集
道路连通：任意两点间总存在道路连接
从 \(x\) 到 \(y\) 的道路 \(\alpha\colon[0,1]\to X\) ：\(\alpha\) 连续并且 \(\alpha(0)=x, \alpha(1)=y\)
道路连通分支；极大道路连通子集
局部道路连通：任意一点均有道路连通的邻域基 \(\iff\) 存在道路连通拓扑基 \(\iff\) 任意开子集的道路连通分支必是开集
Baire 空间
Baire 空间：任意非空开集均是第二纲集 \(\iff\) 可数个稠密开集的交是稠子集
完备度量空间是 Baire 空间
紧 Hausdorff 空间是 Baire 空间
可一致化
可一致化：存在 \(X\) 上的一致结构 \(\mathcal{U}\) 使得 \(\mathcal{T}=\mathcal{T}_\mathcal{U}\) ，即 \(\mathcal{U}\) 诱导拓扑 \(\mathcal{T}\)
一致空间 \((X, \mathcal{U})\) ：集合 \(X\) 赋予一致结构 \(\mathcal{U} \subseteq \mathcal{P}(X \times X)\) ，满足自反性（\(\forall U\in\mathcal{U}:\Delta \subseteq U\) ），对称性（\(\forall U\in\mathcal{U}:U^{-1} \in\mathcal{U}\) ），复合性质（\(\forall U \in \mathcal{U},\exists V \in \mathcal{U}\ \text{s.t.}\ V \circ V \subseteq U\) ），滤子公理（向上封闭，有限交封闭），\(\mathcal{U}\) 中元素称为周围/一致邻域
对角线 \(\Delta := \{(x, x) \mid x \in X\}\)
逆 \(U^{-1} := \{(y, x) \mid (x, y) \in U\}\)
复合 \(V \circ V := \{(x, z) \mid \exists y \in X, (x, y) \in V, (y, z) \in V\}\)
一致结构子基 \(\mathcal{S}\overset{有限交}{\longrightarrow}\) 一致结构基 \(\mathcal{B}\overset{向上填充}{\longrightarrow}\) 一致结构 \(\mathcal{U} = \{A \subseteq X \mid \exists B \in \mathcal{B}, B \subseteq A\}\)
一致结构子基 \(\mathcal{S}\subseteq \mathcal{P}(X\times X)\) ：自反性，对称细化性（\(\forall U\in\mathcal{S},\exists V\in\mathcal{S}\ \text{s.t.}\ V\subseteq U^{-1}\) ），复合性质
一致结构基 \(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X\times X)\) ：自反性，对称细化性，复合性质，向下有向性
\(X\) 的任意一致结构可由所有在 \(X \times X\) 上一致连续的伪度量族（对称性，三角不等式）\(\mathcal{P} = \{d'_i\}_{i \in I}\) 生成
一致结构子基 \(\mathcal{S}=\{U_{i, \epsilon}\}_{i\in I,\epsilon>0},U_{i, \epsilon} := \{(x, y) \in X \times X \mid d'_i(x, y) < \epsilon\}\)
（完）全有界：对任意 \(U\in\mathcal{U}\) 均存在有限个点的 U-邻域覆盖 \(X\iff\) 任意网均有 Cauchy 子网 \(\iff\) 任意超滤子均是 Cauchy 滤子
完备：任意 Cauchy 网/滤子均收敛
Cauchy 网：\(\forall U \in \mathcal{U},\exists \alpha_0 \in A \ \text{s.t.}\ \forall \alpha,\beta\succcurlyeq\alpha_0:(x_\alpha, x_\beta) \in U\)
Cauchy 滤子 \(\mathcal{F}\) ：\(\forall U \in \mathcal{U},\exists A \in \mathcal{F}\ \text{s.t.}\ A \times A \subseteq U\)
完备化定理：对于任意一致空间 \((X, \mathcal{U})\) ，存在配对 \((\hat{X}, i)\) （其中 \(\hat{X}\) 为完备 Hausdorff 一致空间，\(i: X \to \hat{X}\) 为一致连续且像集稠密的映射），满足以下泛性质：对于任意完备 Hausdorff 一致空间 \(Y\) 及一致连续映射 \(f: X \to Y\) ，存在唯一的一致连续映射 \(\hat{f}: \hat{X} \to Y\) ，使得：\(f = \hat{f} \circ i\)
配对 \((\hat{X}, i)\) 在一致同构意义下唯一
\(i(x)=i(y) \iff (x,y) \in \bigcap_{U \in \mathcal{U}} U\)
可一致化 \(\iff\) 完全正则
一致拓扑：邻域基 \(\mathcal{B}_x = \{U[x]\}_{U \in \mathcal{B}}\) ，收敛性也称一致收敛
\(x\) 的 U-邻域：截面 \(U[x] := \{ y \in X \mid (x, y) \in U \}\)
可一致化 \(\implies\) （\(T_0\) = \(T_1\) = \(T_2\) = \(T_{+5}\) = \(T_3\) = \(T_{+5}\) = 所有周围的交集是对角线，紧 = 完全有界 + 完备）
映射 \(f: (X, \mathcal{U}) \to (Y, \mathcal{V})\) 一致连续：\(\forall V \in \mathcal{V},\exists U \in \mathcal{U}\ \text{s.t.}\ \forall (x,y) \in U:(f(x), f(y)) \in V\)
Heine-Cantor 定理：设 \(f: (X, \mathcal{U}) \to (Y, \mathcal{V})\) ，\(X\) 关于一致拓扑紧 Hausdorff，则 \(f\) 连续 \(\implies\) 一致连续
特例：度量空间，拓扑群 \(\supset\) 拓扑向量空间，紧 Hausdorff 空间
一致空间可伪度量化 \(\iff\) 其一致结构有可数一致基
伪度量一致结构：可数一致基 \(\mathcal{B}=\{V_n\}_{n\in\mathbb{N}^+}, V_n:=\left\{(x, y) \in X \times X\mid d(x, y) < \frac{1}{n}\right\}\)
链式下确界法：通过在可数一致基中提取满足三重复合嵌套（\(V_{n+1}^3 \subseteq V_n\) ）的对称周围序列以定义阶梯函数，再对所有有限链的函数值之和取下确界以强加三角不等式，最终夹逼出诱导原一致结构的伪度量
一致空间可度量化 \(\iff T_2\) + 其一致结构有可数一致基
拓扑群：赋予了使得群运算和求逆运算均连续的拓扑结构的群
天然自带三种一致结构（单位元的邻域系 \(\mathcal{N}\) ）
左一致结构 \(\mathcal{U}_L\) ：一致基 \(\mathcal{B}=\{L_V\}_{V \in \mathcal{N}},L_V:= \{(x, y)\in X \times X \mid x^{-1}y \in V\}\)
右一致结构 \(\mathcal{U}_L\) ：一致基 \(\mathcal{B}=\{R_V\}_{V \in \mathcal{N}},R_V:= \{(x, y)\in X \times X \mid x y^{-1} \in V\}\)
双边一致结构 \(\mathcal{U}_{L \vee R}\) ：左右一致结构的最小上界
Birkhoff-Kakutani 定理：拓扑群可（左不变，即 \(d(zx, zy) = d(x, y)\) ）度量化 \(\iff T_2\) + \(C_1\)
链式下确界法：通过从单位元可数邻域基中提取满足三重复合嵌套（\(V_{n+1}^3 \subseteq V_n\) ）的对称邻域序列以定义阶梯偏离度，再借助群平移对所有有限链的代数偏移量之和取下确界以强行修补三角不等式，最终夹逼出左平移不变度量
对于 Abel 拓扑群（如拓扑向量空间），提取满足 \(U_{n+1} + U_{n+1} \subseteq U_n\) 的平衡邻域序列，构造二进制叠加邻域 \(U_r\) 并定义 \(\rho(x) = \inf\{r \mid x \in U_r\}\) ，其几何关系 \(U_r + U_s \subseteq U_{r+s}\) 天然导出次可加性，使 \(\rho\) 成为 F-范数（正定性，次可加性，吸收性 \(\forall|\alpha| \le 1:\rho(\alpha x) \le \rho(x)\) 及连续性 \(\lim_{\alpha \to 0}\rho(\alpha x)=0\) ），进而诱导出平移不变度量 \(d(x,y)=\rho(x-y)\)
紧 Hausdorff 空间的拓扑由乘积空间 \(X \times X\) 中对角线 \(\Delta\) 的邻域滤子作为唯一 一致结构诱导
可伪度量化
可伪度量化：存在 \(X\) 上的伪度量 \(d'\) 使得 \(\mathcal{T}=\mathcal{T}_{d'}\) ，即 \(d'\) 诱导拓扑 \(\mathcal{T}\)
伪度量 \(d':X\times X\to \mathbb{R}\) ：对称性，三角不等式,
伪度量拓扑：可数邻域基 \(\mathcal{B}_x=\{B_n[x]\}_{n\in\mathbb{N}^+}\) ，开球 \(B_n[x]:=\left\{y \in X \mid d'(x, y) < \frac{1}{n}\right\}\) ，与度量拓扑只差 \(T_0\) / \(T_2\) 分离性（对应正定性 ）
可伪度量化 \(\iff\) 正则 + 存在 \(\sigma\) 局部有限基
\(\sigma\) 局部有限基：可表示为可数个在 \(X\) 中局部有限子集族之并的拓扑基
\(C_2\) + 正则 \(\implies\) 可伪度量化可伪度量化 \(\implies\) 完全正规 + \(C_1\) + 仿紧 +（\(C_2\) = \(S\) = Lindelof）
可伪度量化 \(\implies\) （紧 = 可数紧 = 序列紧 = 子集紧）
完全有界 \(\iff\) 对任意 \(\epsilon>0\) 均存在以有限个点为中心的的 \(\epsilon\) -球覆盖 \(X\) （即有限 \(\epsilon\) -网）\(\iff\) 任意序列均有 Cauchy 子序列
完备 \(\iff\) 任意 Cauchy 序列均收敛
Cauchy 序列：\(\forall \epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N}^+ \ \text{s.t.}\ \forall m,n>N : d'(x_m, x_n) <\epsilon\)
子集 \(A\subseteq (X,d')\) 的性质
列紧 + 闭 \(\implies\) 紧 = 可数紧 = 子集紧 = 序列紧 = 完全有界 + 完备
相对紧 = 列紧（任意序列均有收敛子序列收敛到 \(X\) 中某点）
列紧 \(\implies\) 完全有界
\((X,d')\) 完备 \(\implies\) （列紧 = 完全有界）
可度量化
可度量化：存在 \(X\) 上的度量 \(d\) 使得 \(\mathcal{T}=\mathcal{T}_d\) ，即 \(d\) 诱导拓扑 \(\mathcal{T}\)
Nagata-Smirnov 度量化定理：可度量化 \(\iff T_{3}\) + 存在 \(\sigma\) 局部有限基
Urysohn 度量化定理：\(C_2\) + \(T_3\implies\) 可度量化
可度量化 \(\implies T_5\) + \(C_1\) +（\(C_2\) = \(S\) = Lindelof）
子集 \(A\subseteq (X,d)\) 的性质
自列紧：列紧 + 闭 \(\iff\) 紧 = 可数紧 = 子集紧 = 序列紧 = 完全有界 + 完备
\((X,d)\) 完备 \(\implies\) （列紧 = 完全有界，完备 = 闭）
拓扑完备：可完备度量化 \(\iff\) 同胚于某紧 Hausdorff 空间的一个可度量化的 \(G_\delta\) 集
基本群
代数与拓扑
数域 \(K\) 上的线性/向量空间 \(V\) ：配备满足封闭性、交换律、结合律、存在零元和负元（即构成交换群）的向量加法 ，和满足封闭性、双重分配律、标量结合律、域单位元恒等作用的数乘 的集合
映射：非空集合 \(X\) 的每个元素到非空集合 \(Y\) 中唯一确定元素的对应关系
函数：非空集合 \(X\) 到数域 \(K\) 的映射
算子：向量空间 \(X\) 到向量空间 \(Y\) 的映射
泛函：数域 \(K\) 上的向量空间 \(X\) 到数域 \(K\) 的映射，即算子与函数的交集
\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V\) 的组合
锥组合 \(\theta \boldsymbol{x}, \theta\geqslant 0\implies\) 锥包 \(\operatorname{cone}A\)
凸组合 \(\lambda \boldsymbol{x}+\left(1-\lambda\right)\boldsymbol{y}, \lambda\in[0,1]\implies\) 凸包 \(\operatorname{conv}A\)
仿射组合 \(\lambda \boldsymbol{x}+\left(1-\lambda\right)\boldsymbol{y}, \lambda\in\mathbb{R}\implies\) 仿射包 \(\operatorname{aff}A\)
凸锥组合 \(\lambda \boldsymbol{x}+\left(1-\lambda\right)\boldsymbol{y}, \lambda\in[0,1]\implies\) 凸包 \(\operatorname{conv}\left(\operatorname{cone}A\right)\)
线性组合 \(\lambda \boldsymbol{x}+\mu \boldsymbol{y}, \lambda,\mu\in\mathbb{R}\implies\) 子空间 \(\operatorname{span}A\)
子集 \(A\subseteq V\) 的性质
凸集：凸组合封闭，即 \(\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A:\lambda \boldsymbol{x}+(1-\lambda)\boldsymbol{y} \in A\)
均衡/平衡集：数乘收缩封闭，即 \(\forall \boldsymbol{x}\in A,|\lambda| \le 1:\lambda x \in A\)
吸收集：数乘膨胀全覆盖，即 \(\forall \boldsymbol{x}\in V,\exists r>0\ \text{s.t.}\ \forall |\lambda|\ge r:\boldsymbol{x}\in \lambda A\)
数域 \(K\) 上的拓扑向量空间 \(X\) ：赋予了使得向量加法和数乘均连续的拓扑结构的向量空间
\(K\) 必须是拓扑域（赋予了使得加法乘法求逆连续的拓扑结构的域）F-空间：完备的度量线性空间，如 \(L^p([0,1]),0<1<p\)
度量线性空间的 \(K\) 必须是度量域（拓扑由度量诱导的拓扑域）
Fréchet 空间：局部凸的 F-空间，如实数列空间 \(s\)
局部凸：原点存在凸邻域基 \(\iff\) 原点存在均衡吸收的凸邻域基 \(\iff\) 拓扑可由一族半范数（绝对齐次性，次可加性）生成
均衡吸收的凸集 \(U\) 的 Minkowski 泛函 \(p_U(\boldsymbol{x}) := \inf \{t > 0 \mid \boldsymbol{x} \in tU\}\) 是半范数
半范数开球 \(V_{p, \epsilon} = \{\boldsymbol{x} \in X \mid p(\boldsymbol{x}) < \epsilon\}\) 是原点的均衡吸收凸邻域
局部凸拓扑向量空间可度量化 \(\iff T_2\) + 原点存在可数邻域基 \(\iff\) 拓扑可由一族分离点的可数半范数生成
\(\mathcal{P}=\{p_\alpha \mid \alpha \in \Gamma\}\) 分离点：\(\displaystyle\bigcap_{\alpha\in\Gamma} \operatorname{ker}(p_\alpha) = \{ \boldsymbol{0}\}\iff\forall \boldsymbol{x} \neq\boldsymbol{0},\exists\alpha\in\Gamma\ \text{s.t.}\ p_\alpha(\boldsymbol{x})>0\) \(\displaystyle d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \cdot \frac{p_n(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})}{1 + p_n(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})}\)
Banach 空间：完备的赋范线性空间
范数：正定性，绝对齐次性，次可加性（三角不等式）
赋范线性空间的 \(K\) 必须是赋值域（度量由绝对值诱导的度量域）
Kolmogorov 赋范性定理：拓扑向量空间可赋范化 \(\iff T_2\) + 原点存在有界凸邻域 \(V\)
\(\Vert\boldsymbol{x}\Vert = p_B(\boldsymbol{x})\) 原点的有界均衡吸收凸邻域 \(B = \bigcap_{|\lambda|=1} \lambda V\)
Hilbert 空间：完备的内积空间（\(K=\mathbb{R}/\mathbb{C}\) ）
内积：正定性，共轭对称性，第一变元线性
Jordan-von Neumann 定理：赋范线性空间可内积化 \(\iff\) 范数满足平行四边形恒等式：\(\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|^2 + \|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|^2 = 2(\|\boldsymbol{x}\|^2 + \|\boldsymbol{y}\|^2)\)
极化恒等式：\(\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle = \frac{1}{4} (\|\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}\|^2 - \|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y}\|^2 + \mathrm{i}\|\boldsymbol{x} + i\boldsymbol{y}\|^2 - i\|\boldsymbol{x} - i\boldsymbol{y}\|^2)\)
代数结构、拓扑结构的等价
同态（Homo morphism）：\(f(a)f(b)=f(ab)\) （保持代数结构）
同构（Iso morphism）：一一对应的同态
同胚（Homeo (morphism)）：\(f\) 连续、双射且逆映射连续（保持拓扑结构）
流形与现代几何初步
\(C^r\) 流形：\(C_2,T_2\) 的拓扑空间 \((M,\tau)\) ，存在 \(M\) 的开覆盖 \(\{U_\alpha\}_{\alpha \in \Gamma}\) 以及相应的连续映射族 \(\varphi_\alpha : U_\alpha \to \mathbb{R}^n\) ，使得 (i) \(\varphi_\alpha : U_\alpha \to \varphi_\alpha(U_\alpha) \subset \mathbb{R}^n\) 为从 \(U_\alpha\) 到欧氏空间开集 \(\varphi_\alpha(U_\alpha)\) 上的同胚；(ii) 当 \(U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset\) 时转换映射 \(\varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1} : \varphi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \to \varphi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)\) 为 \(C^r\) 映射
\(\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}_{\alpha \in \Gamma}\) ：局部坐标覆盖
\((U_\alpha, \varphi_\alpha)\) ：局部坐标系；\(U_\alpha\) ：局部坐标邻域；\(\varphi_\alpha\) ：局部坐标映射
\(r=1\) ：拓扑流形；\(r=\omega\) ：实解析流形\(r=\infty\) ：光滑流形
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2024-04-11 16:31
｜烟岚云岫｜
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