2022 NOIP前莞中停课记

day1 (2022.11.18)

完成任务：
平衡树板子
P2221 —— 平衡树题，但使用线段树做法。

P2221 [HAOI2012]高速公路

将链视作序列。

这题的期望很裸，考虑随机在 \(l\) 和 \(r\) 中间选两个点，概率为 \(\frac{1}{C_{r-l+1}^{2}}\)，价值为 \(dis(i,j)\)，所以对于对于端点 \(l\), \(r\) 来说，期望值为

\[\frac{\sum_{i=l}^{r} \sum_{j=l}^{r} dis(i,j)}{C_{r-l+1}^{2}} \]

考虑每一条边对答案的贡献，改写式子为：

\[\frac{\sum_{i=l}^{r} C^{1}_{i-l+1} \times C^{1}_{r-i+1} \times a_i}{C^{2}_{r-l+1}} \]

即：

\[\frac{\sum_{i=l}^{r} (i-l+1) \times (r-i+1) \times a_i}{C^{2}_{r-l+1}} \]

展开得：

\[\frac{(r-l-lr+1) \sum_{i=l}^{r} a_i + \sum_{i=l}^{r} -a_i \times i^2 + (l+r) \sum_{i=l}^{r} a_i \times i}{C^{2}_{r-l+1}} \]

用线段树维护即可。