Codeforces Round #813 (Div. 2)

这一场打得很稀烂QwQ。

开局先看A,开始秒想了一个假掉的做法，WA了3发，以后一定要先证明正确性再写。。。

A写了16分钟。。。

B很快在35分钟的时候秒掉了，C想到了一个暴力做法，但是由于太暴力了，TLE了一发，稍微优化了一下就过掉了（1h19分）。

之后一个小时在推 E 的式子，但一直陷在死循环里，找不到突破口，浅看一下D，感觉好像要写线段树维护区间然后贪心之类的，没有细想，继续推 E 式子到结束。

A Wonderful Permutation

题意

给出一个长为 \(n\) 的排列 \(p\)，每一次操作可以交换任意两个位置的数，求使得 \(p_1 + p_2 \cdots p_k\) 最小所需的最小操作次数。

思路

由于 \(p\) 是一个排列，所以使得只要使得 $$\max_{i=1}^{k} a_i \le k$$ 即可。

所以我们判断一下从 \(a_1\) 到 \(a_k\) 中是否有大于 \(k\) 的数，是就输出 No，否则输出 Yes。

注意多组数据。

const int N = 105;
int a[N];
int n, k;
void solve()
{
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	
	int ans = 0; 
	for(int i=1;i<=k;i++) 
	{
		if(a[i] > k) ans ++;
	}
	
	cout<<ans<<endl;
}

B Woeful Permutation

题意

求一个长度为 \(n\) 的排列 \(a\)，使得 \(\operatorname{lcm}(1,a_1)+\operatorname{lcm}(2,a_2)+\cdots+\operatorname{lcm}(n,a_n)\) 最大。

思路

对于 \(n\) 为奇数的情况，最后答案为 \(1,3,2,5,4,7,6 \cdots,n,n-1\)。

对于 \(n\) 为奇数的情况，最后答案为 \(2,1,4,3,6,5 \cdots ,n, n-1\)。

Proof：

由于 \(\operatorname{lcm}(x,y) = \frac{x \times y}{\gcd(x,y)}\)，所以当 \(x,y\) 互质的时候最优。

我们发现，一个数和最小(或大)的比它大(或者小)的且与它互质的数求 \(\operatorname{lcm}\) 时，是最优的。

那为什么不去和更大的且与它互质的数求 \(lcm\) 呢？

设原来的配对为 \(\frac{x_1 \times y_1}{1} + \frac{x_2 \times y_2}{1} (x_1 \le y_1 \le x_2 \le y_2)\)，交换成\(\frac{x_1 \times y_2}{1} + \frac{x_2 \times y_1}{1}\)，的话会导致答案偏小。

const int N = 1e5 + 10;
int a[N];
void solve()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i] = i;
	if(n % 2 == 1) for(int i=2;i<n;i+=2) swap(a[i],a[i+1]);
	if(n % 2 == 0) for(int i=1;i<=n;i+=2) swap(a[i],a[i+1]);
	
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<' ';
	cout<<endl;
}

C Sort Zero

题意

给出一个长为 \(n\) 的序列 \(a\)，每一次操作可以选择一个数 \(x\)，将 \(a\) 中的所有等于 \(x\) 的数变为 \(0\)，求将序列变成不下降序列所需要的最少操作次数。

思路

我们发现，一旦出现了 \(a_i > a_{i+1}\)，那么我们就要将下标为 \(1 \sim i\) 的数都变成 \(0\)。

Proof:

如果只是将 \(a_i\) 变为 \(0\)，由于原序列中所有数都是大于 \(0\) 的，所以如果 \(a_{i-1} \ne 0\),就有 \(a_{i-1} > a_i\)。

如此类推， 下标为 \(1 \sim i\) 的数都一定为 \(0\)。

所以我们只要用 set 维护 \(1 \sim i\) 值的个数，如果出现 \(a_i > a_{i+1}\)，就将 \(1 \sim i\) 中的所有值标记为 \(0\)，答案更新为 \(1 \sim i\) 中值的个数即可。

const int N = 1e5 + 10;

int n;
int a[N];
bool st[N];

int main()
{
	int t = 1;
	cin>>t;

	while(t--) 
	{
		scanf("%d",&n);
		for(int i=0;i<=n;i++) st[i] = 0;
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
		
		int ans = 0, last = 0;
		set<int> S;
		for(int i=1;i<n;i++)
		{
			if(st[a[i]]) a[i] = 0;
			if(st[a[i+1]]) a[i+1] = 0;
			if(a[i] != 0) S.insert(a[i]);
			
			if(a[i] > a[i+1])
			{
				for(int j=last;j<=i;j++) st[a[j]] = 1;
				last = i;
				ans = S.size();
			}
		}
		
		cout<<ans<<endl;
	}

    return 0;
}