FHQ-Treap 简介

FHQ-treap 即非旋Treap，是一种短小精悍，功能丰富的平衡树。

据说它的效率介于 Treap 和 Splay 之间（可能是我的FHQ常数比较小，跑得比我的Treap还快）。

它可以实现 Splay 可以实现的所有功能，包括平衡树的基本操作和区间翻转操作。

它的实现难度比 Splay 要简单很多，没有 Splay 那么多转来转去的操作，不会令人头晕，而且FHQ代码的对称性良好，易于调试。

有两种 FHQ-Treap，一种是按值为关键字的，一种是按下标为关键字的（适用于区间翻转等操作时）。

FHQ-Treap 类似于Treap，都有一个随机的 key 值，以此来保持树的平衡。

Split (分裂) & merge (合并)

FHQ-Treap 的核心操作为 \(\text{split}\) (分裂) 和 \(\text{merge}\) (合并)。

\(\text{split}(root,val,x,y)\) 表示将 \(root\) 的子树拆分为两半，一半中的值(或下标)都小于等于 \(val\), 一半的值都大于 \(val\)。

\(\text{merge}(x,y)\) 表示将 \(x\) 子树和 \(y\) 子树合并起来，要保证x中的元素都小于y中的元素。

具体操作都是依靠 \(\text{split}\) 和 \(\text{merge}\) 来实现的。

// 按值为关键字
struct Node
{
	int l,r; // 左右儿子编号
	int val;// 真实值
	int key;// 随机值
	int size;// 子树大小
}fhq[N];

void pushup(int u){ // 维护其子树大小
	fhq[u].size = fhq[fhq[u].l].size + fhq[fhq[u].r].size + 1;
}

inline void split(int u,int val,int &x,int &y) // 递归实现
{
	if(!u) {// 空节点
		x = y = 0;
		return;
	}
	if(fhq[u].val <= val) { // 点的值大于val,递归其右儿子
		x = u;
		split(fhq[u].r,val,fhq[u].r, y);
	}
	else { // 点的值小于val,递归其左儿子
		y = u;
		split(fhq[u].l,val,x,fhq[u].l);
	}
	pushup(u); // 维护其子树大小
}
inline int merge(int x,int y)
{
	if(!x || !y) return x | y;  // 有一个子树为空，不需要操作
	if(fhq[x].key >= fhq[y].key) { // key 为随机值，这里是保证平衡的关键
		fhq[x].r = merge(fhq[x].r,y); // 将y接到右儿子或更下方上，递归合并
		pushup(x);
		return x;
	}
	else {
		fhq[y].l = merge(x,fhq[y].l);
		pushup(y);
		return y;
	}
}

insert (插入)

// 插入一个值为 val 的点
int create(int val) { // 新建一个值为val的点
	fhq[++cnt].val = val,fhq[cnt].key = rnd(),fhq[cnt].size = 1;
	return cnt;
}
void insert(int val){ 
	split(root,val,x,y); // 按val分裂成x,y，x中的元素都小于val，以此满足merge需要的性质
	root = merge(merge(x,create(val)), y); // 将x,新建的值为val的点，y合并
}

删除

//删除一个值为val的点
void del(int val) {
	split(root,val,x,z);
	split(x,val-1,x,y); // 前面两行将val点(y)抠出来
	y = merge(fhq[y].l,fhq[y].r); // 直接合并y的左节点和右节点，即为删除y
	root = merge(merge(x,y),z); // 合并即可
}

按值获取排名

//找到val在树中的排名
void getrank(int val) {
	split(root,val-1,x,y); // 抠出小于val的那些点(x)
	printf("%d\n",fhq[x].size+1); // x的size即为小于val的点的个数, 加上val自己即为排名
	root = merge(x,y);
}

按排名获取值

//获取排名为rank的点的值
void getval(int rank) {
	int u = root;
	while(u) {
		// fhq[fhq[u].l].size为值小于点u的点的个数
		if(fhq[fhq[u].l].size + 1 == rank) break; // 找到了!!!
		if(fhq[fhq[u].l].size >= rank) u = fhq[u].l; // 发现rank在左儿子中，递归查找左儿子
		else rank -= fhq[fhq[u].l].size + 1, u = fhq[u].r; // 发现rank在右儿子中，递归查找右儿子前要减去rank的值
	}
	printf("%d\n", fhq[u].val);
}

找前驱

// 找到小于val的最大值
void pre(int val) {
	split(root,val-1,x,y); // 先抠出小于val的值(x)
	int u = x;
	while(fhq[u].r) u = fhq[u].r; // 在小于val的值中找最大值
	printf("%d\n",fhq[u].val);
	root = merge(x,y);
}

找后继

// 找大于val的最小值
void nxt(int val) {
	split(root,val,x,y); // 先抠出大于val的值(y)
	int u = y;
	while(fhq[u].l) u = fhq[u].l; // 在大于val的值中找最小值
	printf("%d\n",fhq[u].val);
	root = merge(x,y);
}

完整板子

点击查看代码

// P3369 【模板】普通平衡树
// 因为这里加了两个哨兵，所以实现和上面介绍的有一点点区别
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

struct Node {
	int l,r;
	int val;// real value
	int key;// for treap
	int size;
} fhq[N];
int root,cnt;

mt19937 rnd(233);

int create(int val) {
	fhq[++cnt].val = val,fhq[cnt].key = rnd(),fhq[cnt].size = 1;
	return cnt;
}

void pushup(int u) {
	fhq[u].size = fhq[fhq[u].l].size + fhq[fhq[u].r].size + 1;
}

void split(int u,int val,int &x,int &y) {
	if(!u) {
		x = y = 0;
		return;
	}

	if(fhq[u].val <= val) {
		x = u;
		split(fhq[u].r,val,fhq[u].r, y);
	} else {
		y = u;
		split(fhq[u].l,val,x,fhq[u].l);
	}
	pushup(u);
}

int merge(int x,int y) {
	if(!x || !y) return x + y;
	if(fhq[x].key >= fhq[y].key) {
		fhq[x].r = merge(fhq[x].r,y);
		pushup(x);
		return x;
	} else {
		fhq[y].l = merge(x,fhq[y].l);
		pushup(y);
		return y;
	}
}

int x,y,z;
void insert(int val) {
	split(root,val,x,y);
	root = merge(merge(x,create(val)), y);
}

void del(int val) {
	split(root,val,x,z);
	split(x,val-1,x,y);
	y = merge(fhq[y].l,fhq[y].r);
	root = merge(merge(x,y),z);
}

void getrank(int val) {
	split(root,val-1,x,y);
	printf("%d\n",fhq[x].size);
	root = merge(x,y);
}

void getval(int rank) {
	rank++;
	int u = root;

	while(u) {
		if(fhq[fhq[u].l].size + 1 == rank) break;
		if(fhq[fhq[u].l].size >= rank) u = fhq[u].l;
		else rank -= fhq[fhq[u].l].size + 1, u = fhq[u].r;
	}

	printf("%d\n", fhq[u].val);
}

void pre(int val) {
	split(root,val-1,x,y);

	int u = x;
	while(fhq[u].r) u = fhq[u].r;

	printf("%d\n",fhq[u].val);

	root = merge(x,y);
}

void nxt(int val) {
	split(root,val,x,y);

	int u = y;
	while(fhq[u].l) u = fhq[u].l;

	printf("%d\n",fhq[u].val);

	root = merge(x,y);
}

int main() {
	int n;
	scanf("%d",&n);
	insert(2147483647), insert(-2147483647); // 哨兵

	while(n--) {
		int opt,val;
		scanf("%d%d",&opt,&val);

		if(opt == 1) insert(val);
		if(opt == 2) del(val);
		if(opt == 3) getrank(val);
		if(opt == 4) getval(val);
		if(opt == 5) pre(val);
		if(opt == 6) nxt(val);
	}

	return 0;
}