【算法】欧几里得——GCD引发的讨论
欧几里得算法
任务
求两个数a,b的最大公约数gcd(a,b)
说明
由贝祖定理[若设a,b是整数,则存在整数x,y,使得ax+by=gcd(a,b)]得,gcd(a,b)=(b,a-b),其中a≥b。通过这样不断的迭代,知道b=0,就是原来数对的最大公约数。考虑到只使用减法会超时,我们观察到如果a-b仍然大于b的话,要进行一次同样的操作,就把a减到不足b为止,所以有gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。由此可以在log的时间内求出两个数的gcd。
程序
int gcd(int a,int b);
复杂度
O(logN),其中N和a,b同阶
输入
a,b两个整数
输出
a,b的最大公约数
代码
int gcd(int a,int b){
return b == 0? a : gcd(b, a % b);
}
扩展欧几里得
任务
求出A,B的最大公约数,且求出X,Y满足AX+BY=GCD(A,B)。
说明
要求X,Y,满足:AX+BY=GCD(A,B)。
当B=0时,有X=1,Y=0时等式成立。
当B>0时,在欧几里得算法的基础上,已知:
GCD(A,B)=GCD(B,A mod B)
先递归楸树X’,Y’满足:
BX’+(A mod B)Y’ = GCD(B,A mod B) = GCD(A,B)
然后可以回推,我们将上式化简得:
BX’+(A-A/B*B)Y’=GCD(A,B)
AY’+BX’-(A/B)*BY’=GCD(A,B)
这里除法指整除。把含B的因式提取一个B,可得:
AY’+B(X’-A/B*Y’)=GCD(A,B)
故X=Y’,Y=X’-A/B&Y’
程序
int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y);
复杂度
O(logN),其中N和a,b同阶
输入
a,b两个整数
&x,&y引用,ax+by=GCD(a,b)的一组解
输出
a,b的最大公约数
调用后x,y满足方程ax+by=GCD(a,b)。
代码
int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y) {
if(b==0) {
x=1;
y=0;
return a;
} else {
int r=extend_gcd(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return r;
}
}
参考文章:
ACM国际大学生程序设计竞赛:算法与实现
百度百科