【题解】$HDU 3092$ - 数论 - 完全背包

HDU 3092

题目大意

将一个数 \(s\) 写成很多数相加，求这些数的 \(lcm\) 最大

\(\\\)

---

\(\\\)

\(Solution\)

网上的题解我真是emm？？？直接复述一遍结论就离谱。这道题重点难道不是在发现这个结论吗？完全背包谁不会啊？？忍不住吐槽了kkk

首先一定要手玩几个例子，比如 \(10\) 分解为 \(5 + 3 + 2\)，\(11\) 分解为 \(5 + 3 + 2 + 1\)，发现都是质数

如果是在考试中，再多打几个表看看是不是这样，然后就可以直接写了，但是是在做题的话还是来理解一下

一个前置证明，若 \(a > 1, b > 1\) 且 \(a, b\) 都为正整数，那么 \(a * b \ = \ c\) ，这个还是比较显然

假设 \(s\) 分解为了 \(a + b\)，且 \(a, b\) 都为非质数，那么有 $$a * b \ = \ a_1 * a_2 * ... * a_i * b_1 * b_2 * ... * b_j \ (a_1, a_2, ..., a_i, b_1, b_2, ..., b_j都为质数)$$

\[\& \& \]

\[a_1 + a_2 + ... + a_i + b_1 + b_2 + ... + b_j \ <= \ a + b \]

把 \(a \ + \ b\) 质因数分解后贡献的答案一样，但用的和还少一些，所以拆分成质数的是最佳的

还有两个要注意的点

\(1.\) 质数的次幂也是可以选的。

为什么呢？还是看上面那个证明，若 \(b = c^x\) ，\(c\) 为一个质数，那么这时候是没有必要拆开 \(b\) 的，因为拆成一样的之后 \(\operatorname{lcm}\) 就多了一个 \(b^y\)

\(2.\) 由于公倍数可能会很大，所以要取模。

但是取了模怎么比较大小呢？这时候就要用到 \(\log\) 来帮忙了

为什么选 \(\log\) ？因为 \(\log n\) 可以把 \(n\) 变为一个很小的数，且若 \(a * b \ < \ c * d\) ，满足 \(\log a + \log b < \log c + \log d\)

也就是说，在不改变数字相对大小的情况下，把数字缩小了。(有点儿像用精度换取了空间？不知道有没有人能get到

具体实现看代码8

\(\\\)

完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿

（感觉这篇题解写得好严肃啊233不是我的风格啊～果然数学到哪都令我头秃呢（雾

\(\\\)

---

\(\\\)

\(Code\)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define F(i, x, y) for(int i = x; i <= y; ++ i)
using namespace std;
int read();
const int N = 2e4 + 5;
int n, mod, prime[N], vis[N];
double dp[N];
ll ans[N], lans;
void init()
{
   F(i, 2, N - 1)
   {
      if(! vis[i]) prime[++ prime[0]] = i;
      for(int j = 1; j <= prime[0] && prime[j] * i <= N - 1; ++ j)
         vis[prime[j] * i] = 1;
   }
}
int main()
{
   init();//欧拉筛找质数
   while(scanf("%d%d", &n, &mod) != EOF)
   {
      F(i, 0, n) dp[i] = 0, ans[i] = 1;
      for(int i = 1; i <= prime[0] && prime[i] <= n; ++ i)
         for(int j = n; j >= prime[i]; -- j)
            for(int k = 1, now = prime[i]; now <= j; ++ k, now *= prime[i])//枚举 prime[i] 的 k 次方
            {
               if(now <= j && dp[j - now] + log(now) > dp[j])
               dp[j] = dp[j - now] + log(now), ans[j] = ans[j - now] * now % mod;//dp 用来找答案，ans 用来存真的答案
            }
      printf("%lld\n", ans[n]);
   }
   return 0;
}
/*--------------- Bn_ff 2020.7.4 HDU3092 ---------------*/
int read()
{
   int x = 0, f = 1;
   char c = getchar();
   while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
   while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c =  getchar();
   return x * f;
}