【题解】$test0628$ 仓库选址 - 换根 $dp$ - 二进制运算

ybt 1771 仓库选址

题目描述

喵星系有 \(n\) 个星球，星球以及星球间的航线形成一棵树。

从星球 \(a\) 到星球 \(b\) 要花费 \([dis(a,b)XorM]\)秒。（\(dis(a,b)\) 表示 \(a,b\) 间的航线长度，\(Xor\) 为位运算中的异或）

为了给仓库选址，pf想知道，星球 \(i\)（\(1≤i≤n\)）到其他所有星球花费的时间之和。

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\(Solution\)

这道题其实一点都不难啊！！！就是一个裸换根 \(dp\) 加一点点二进制小技巧，网上的题解太高大上了，蒟蒻瑟瑟发抖 \(\kk\)

首先发现，若 \(m = 0\) 那么就是个裸换根 \(dp\)

具体的就不写了，连我这种蒟蒻都会那各位dalao肯定都会！（主要是懒

考虑加上异或 \(m\)

观察数据范围，发现 \(m <= 15\)，也就是说，异或了 \(m\) 顶多修改二进制下后面 \(4\) 位

于是另外设 \(g[i][j]\) 表示到 \(i\) 的点的路径中，有多少条是二进制下后面 \(4\) 位为 \(j\) 的

然后我们就只要在最最最后，加上这样一句，$$ans[i] += ((j \ xor \ m) \ - \ j) \ * \ g[i][j]$$

就是答案啦！是不是超简单！！

这一句话是什么意思呢？

假设有一条到 \(i\) 的路径长为 \(x\)，\(x\) 的二进制下后 \(4\) 位为 \(j\) ，由于顶多更改最后 \(4\) 位，所以只有 \(j\) 部分被更改

在题意里要加进去的贡献应该是 \(j \ xor \ m\) ，但是现在 \(ans[i]\) 里存的是 \(j\) ，所以我们要加上一个 \(j \ xor \ m\) 减去一个 \(j\)

简单来说就是这样$$j + (j \ xor \ m \ - \ j) \ = \ j \ xor \ m$$

那么这优化在了哪里呢？

实际上这就相当于我们对于每一条路径都先求出长度，然后更改，但是这样就是 \(O(n^2)\) 了，于是我们把所有能够一起更改的（也就是后四位一样的）统计一下，在最后一起更改，复杂度就降为 \(O(nm)\) 辣！

再次感慨一下这道题做法，太！神！力！

完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿

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\(Code\)

好吧原来这道题难点在于代码实现？？？重构了代码的蒟蒻哭力——

可能代码和上面讲的有些偏差，具体代码里解释

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i, x, y) for(int i = x; i <= y; ++ i)
using namespace std;
int read();
const int N = 1e5 + 5;
const int mod = 16;
int n, m, u, v, e;
int g[N][16], dp[N];
int head[N], cnt, ver[N << 1], edge[N << 1], nxt[N << 1];
void add(int x, int y, int z){ver[++ cnt] = y, edge[cnt] = z, nxt[cnt] = head[x], head[x] = cnt;}
void dfs1(int x, int fa)
{
   g[x][0] = 1;
   for(int i = head[x]; i; i = nxt[i])
      if(ver[i] != fa)
      {
         dfs1(ver[i], x), dp[x] += dp[ver[i]];//这里的dp求的是i子树到i的距离和
         F(j, 0, 15) g[x][(j + edge[i]) % mod] += g[ver[i]][j], dp[x] += g[ver[i]][j] * edge[i];
         /*对于当前这条边，会被贡献size[son]这么多次，而g[son]的总和就是size[son]*/
      }
}
void dfs2(int x, int fa)
{
   for(int i = head[x]; i; i = nxt[i])
      if(ver[i] != fa)
      {
         int tmp[16] = {0}, size = 0;
         F(j, 0, 15) 
            tmp[(j + edge[i]) % mod] += g[x][j] - g[ver[i]][((j - edge[i]) % mod + mod) % mod], size += g[ver[i]][j];
            /*由fa往i转移时要用g[fa]减掉那些i子树中的链*/
         dp[ver[i]] = dp[x] + (n - size * 2)  * edge[i];
         /*可以看成n-size-size，n-size是有这么多个点要经过这条边，还要减一个size是因为dp[x]中包含了size条这个边，要减去*/
         F(j, 0, 15) g[ver[i]][j] += tmp[j];
         dfs2(ver[i], x);
      }
}
int main()
{
   n = read(), m = read();
   F(i, 1, n - 1) u = read(), v = read(), e = read(), add(u, v, e), add(v, u, e);
   dfs1(1, 0), dfs2(1, 0);
   F(i, 1, n) F(j, 0, 15) dp[i] += ((j ^ m) - j) * (g[i][j] - (j == 0));
   F(i, 1, n) printf("%d\n", dp[i]);
   return 0;
}
/*--------------- Bn_ff 2020.7.2 ybt1771 ---------------*/
int read()
{
	int x = 0, f = 1;
	char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return x * f;
}