【题解】P4570 [BJWC2011]元素 - 线性基 - 贪心

P4570 [BJWC2011]元素

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题目描述

给你 \(n\) 个二元组 \((x, y)\)，从中选取任意个，构成集合 \(S\)，其中不允许存在某个 \(S\) 的子集中的 \(x_i\) 异或起来为 \(0\)。求 \(\sum_{i\in S} y_i\) 的最大值

输入格式

第一行包含一个正整数 \(N\)，表示二元组个数。
接下来 \(N\) 行，每行两个正整数 \(x_i,y_i\)。

输出格式

仅包含一行，一个整数代表最大的答案。

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\(Solution\)

这道题分两步，先按照大小排序，再用线性基加数

\(1st \ step\)

引入一个关于异或的性质：若 \(x \text{^} y = z\)，则 \(x \text{^} z = y \ , \ y \text{^} z = x\)

假设现在想往集合里加 \(x_0\)，但是加不了了

那么集合里就有 \(x_1 \text{^} x_2 \text{^} ... \text{^} x_i = x_0\)

对于这些选出来的二元组，若 \(y_j < y_0\)，又因为 \(x_1 \text{^} x_2 \text{^} ... \text{^} x_i \text{^} x_0 = x_j\)，所以可以把 \(j\) 换成 \(i\)，情况没变，但对答案贡献更大

所以可以贪心，按照 \(y_i\) 的从大到小排

\(2nd \ step\)

线性基有一个性质：线性基里不存在某些数异或起来等于 \(0\)

关于证明

如果有 \(x_1, x_2, x_3...x_i\) 在线性基里，且异或起来等于 \(0\)，则 \(x_i = x_1 \text{^} x_2 \text{^} ... \text{^} x_{i-1}\)，那么 \(x_i\) 可以用这些数异或表示出来，不可能加入进线性基里（根据线性基的定义）

所以只要能插入进线性基，则可行

完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿

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\(\\\)

\(Code\)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define F(i, x, y) for(int i = x; i <= y; ++i)
using namespace std;
ll read();
const int N = 1e3 + 5;
ll n, p[70], ans;
struct node{
	ll x, y;
}a[N];
bool cmp(node x, node y){return x.y > y.y;}
bool solve(ll x)
{
	for(int i = 63; i; -- i)
        if((x >> i - 1) & 1)
        	if(! p[i]) 
        	{
        		p[i] = x;
        		return true;
			}
			else x ^= p[i];
	return false;
}
int main()
{
    n = read();
    F(i, 1, n) a[i].x = read(), a[i].y = read();
    sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);
    F(i, 1, n) if(solve(a[i].x)) ans += a[i].y;
    printf("%lld", ans);
	return 0;
}
ll read()
{
	ll x = 0, f = 1;
	char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return x * f;
}