【题解】P3349 [ZJOI2016]小星星 - 子集dp - 容斥

P3349 [ZJOI2016]小星星

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题目描述

小 \(Y\) 是一个心灵手巧的女孩子，她喜欢手工制作一些小饰品。她有 \(n\) 颗小星星，用 \(m\) 条彩色的细线串了起来，每条细线连着两颗小星星。

有一天她发现，她的饰品被破坏了，很多细线都被拆掉了。这个饰品只剩下了 \(n-1\) 条细线，但通过这些细线，这颗小星星还是被串在一起，也就是这些小星星通过这些细线形成了树。小 \(Y\) 找到了这个饰品的设计图纸，她想知道现在饰品中的小星星对应着原来图纸上的哪些小星星。如果现在饰品中两颗小星星有细线相连，那么要求对应的小星星原来的图纸上也有细线相连。小 \(Y\) 想知道有多少种可能的对应方式。

只有你告诉了她正确的答案，她才会把小饰品做为礼物送给你呢。

输入格式

第一行包含个 \(2\) 正整数 \(n,m\)，表示原来的饰品中小星星的个数和细线的条数。接下来 \(m\) 行，每行包含 \(2\) 个正整数 \(u,v\)，表示原来的饰品中小星星 \(u\) 和 \(v\) 通过细线连了起来。这里的小星星从 \(1\) 开始标号。保证 \(u≠v\)，且每对小星星之间最多只有一条细线相连。接下来 \(n-1\) 行，每行包含个 \(2\) 正整数 \(u,v\)，表示现在的饰品中小星星 \(u\) 和 \(v\) 通过细线连了起来。保证这些小星星通过细线可以串在一起。\(n<=17,m<=n*(n-1)/2\)

输出格式

输出共 \(1\) 行，包含一个整数表示可能的对应方式的数量。如果不存在可行的对应方式则输出 \(0\)。

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\(Solution\)

从一个暴力开始考虑，设 \(f[i][j][S]\) 表示，以 \(i\) 为树根的子树，当 \(i\) 映射到 \(j\) 上，映射的子集为 \(S\) 时的方案数。

不断合并 \(i\) 的子树来转移，复杂度貌似是 \(O(3^n n)\) 的，但是不知道为什么 \(emm\)

考虑如何优化

如果我们去除 \(S\) 这一维，那么答案中会有一些不合法的情况，但这些不合法的情况仅为多个点映射到同一个点，不会出现两个点之间没有边相连的情况

于是我们可以做容斥，去除掉这些不合法情况

首先枚举删除一个点，在剩下的图上做一遍 \(f[i][j]\) 的 \(dp\)，此时找到的状态至少有两个点映射在了同一个点上（因为图上只有 \(n - 1\) 个点，而树上有 \(n\) 个）

我们把这些状态都删除，但是会发现，会重复删除掉三个点，四个点等映射在同一个点上的情况，于是再加上它们

然后就可以做容斥了

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\(Code\)

代码其实挺简单的，但是要注意在做 \(dp\) 的时候，把儿子循环放外面，先做儿子的 \(dp\) 再枚举 \(j\)，不然会超时（不过这个逻辑应该挺简单，我真是降智了）

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define F(i, x, y) for(int i = x; i <= y; ++i)
using namespace std;
int read();
const int N = 400;
int n, m;
int mp[N][N];
int head[N], cnt, ver[N], next[N];
ll ban[N], f[N][N];
ll ans;
void add(int x, int y)
{
	ver[++ cnt] = y, next[cnt] = head[x], head[x] = cnt;
}
void dfs(int x, int fa)
{
	F(j, 1, n) f[x][j] = 1;
	for(int i = head[x]; i; i = next[i])
        if(ver[i] != fa)
        {
        	dfs(ver[i], x);
		    F(j, 1, n)
	            if(! ban[j])
            	{ 
		    		ll res = 0;
		    		F(v, 1, n) if(! ban[v]) res += f[ver[i]][v] * mp[v][j];
		    		f[x][j] *= res; 
				}
        } 
}
int main()
{
    n = read(), m = read(); 	
    for(int i = 1, u, v; i <= m; ++ i) u = read(), v = read(), mp[u][v] = mp[v][u] = 1;
    for(int i = 1, u, v; i <= n - 1; ++ i) u = read(), v = read(), add(u, v), add(v, u);
    F(k, 0, (1 << n) - 1) // 可以直接枚举状态，不用按顺序，这样简单很多 
    {
    	F(i, 1, n) ban[i] = 0;
    	F(i, 1, n) F(j, 1, n) f[i][j] = 0;	
    	int size = 0; ll res = 0;
    	for(int i = 1, s = k; s; ++ i, s >>= 1) if(s & 1) ban[i] = 1, ++ size;
    	dfs(1, 0);
    	F(i, 1, n) res += f[1][i];
    	if(size & 1) ans -= res;
    	else ans += res;
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}
int read()
{
	int x = 0, f = 1;
	char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return x * f;
}