摘要：
基本性质 定理 7.1.1 （谱分解定理） 若 \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) 是对称的，则存在正交阵 \(Q\) 使得 \[ Q^TAQ = \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) \] 定理 7.1.2 阅读全文
摘要：
首先简单介绍几个预备知识： 多项式 \(p_A(\lambda) = \det(\lambda I-A)\) 称为 \(A\) 的特征多项式，记 \(\lambda(A)\) 为 \(A\) 的特征值全体，通常称之为 \(A\) 的谱集；假定 \(p_A(\lambda)\) 有分解 \[ p_A( 阅读全文
摘要：
最速下降法 考虑线性方程组 \(Ax=b\) ，其中 \(A\) 是对称正定阵，定义二次泛函 \[ \varphi(x) = x^TAx - 2b^Tx \] 定理 5.1.1 设 \(A\) 对称正定，则 \(Ax=b\) 的解等价于二次泛函 \(\varphi(x)\) 的极小值点. 证明 事实 阅读全文
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最小二乘问题 定义 3.1.1 给定矩阵 \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) 及向量 \(b\in\mathbb{R}^m\) ，确定 \(x\in\mathbb{R}^n\) ，使得 \[ \|b-Ax\|_2 = \|r(x)\|_2 = \min_{y\in\math 阅读全文
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向量范数和矩阵范数 向量范数 定义 2.1.1 非负函数 \(\|\cdot\|:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) 称为 \(\mathbb{R}^n\) 上的向量范数，如果有 正定性： \(\forall x\in\mathbb{R}^n,\ \|x\|\ge 0\) ，等号 阅读全文
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从这一章开始是数值代数课程的笔记，使用的教材是徐树方、高立、张平文编著的《数值线性代数》。 三角形方程组和三角分解 前代法 求解下三角形方程组 \[ Ly = b \] 其中 \(b=(b_1,\cdots,b_n)^T\in\mathbb{R}^n\) 已知， \(y=(y_1,\cdots,y_ 阅读全文