常见分布

目录

• 离散分布
  • 巴斯卡分布
  • 二项分布
  • 泊松分布
  • 几何分布
  • 超几何分布
• 连续分布
  • 均匀分布
  • 正态分布
  • 二维正态分布
  • 指数分布
• 习题

 

离散分布

巴斯卡分布

每次成功的概率为 \(p\) ，直到有 \(r\) 次成功需要的实验次数的分布，分布列为

\[P(\xi=k) = \left( \begin{matrix} k-1\\ r-1 \end{matrix} \right)p^{r}(1-p)^{k-r} \]

 

二项分布

\(n\) 次实验，每次成功的概率为 \(p\) ，成功的次数 \(\xi\sim B(n,p)\) 称为服从二项分布，分布列为

\[P(\xi=k) = \left( \begin{matrix} n\\ k \end{matrix} \right)p^{k}(1-p)^{n-k} \]

• 数学期望：直接通过定义计算较为复杂，可以利用期望的加法性质，设计伯努利实验

\[\xi_i = \left\{ \begin{aligned} &1,\quad &第\ i\ 次实验成功\\ &0,\quad &第\ i\ 次实验失败 \end{aligned} \right. \]

则 \(E\xi_i = p\) ，而 \(\xi = \sum_{i=1}^n\xi_i\) ，从而 \(E\xi = np\) .

• 方差：同理于上面的方法，有 \(E(\xi_i-E\xi)^2 = p(1-p)^2 + (1-p)p^2 = p(1-p)\) ，从而 \(Var\xi = np(1-p)\) .

• 特征函数： \(f(t) = (pe^{it}-p+1)^n\) .

 

泊松分布

\(k\) 取非负整数，参数 \(\lambda > 0\) ，则 \(\xi\sim P(\lambda)\) 称为服从泊松分布，其分布列为

\[P(\xi=k) = \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \]

• 数学期望：

\[E\xi = \sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda} = \lambda \]

• 方差： \(E\xi = \lambda\) .

• 特征函数： \(f(t) = e^{\lambda(e^{it}-1)}\) .

 

几何分布

每次成功的概率为 \(p\) ，直到成功为止需要的实验次数的分布，分布列为

\[P(\xi=k) = (1-p)^{k-1}p \]

• 数学期望： \(E\xi = \dfrac{1}{p}\) .
• 方差： \(Var\xi = \dfrac{1-p}{p^2}\) .
• 特征函数： \(f(t) = \dfrac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}\) .

 

超几何分布

\(N\) 件产品， \(M\) 件次品，抽查 \(n\) 件有 \(k\) 件次品的概率，分布列为

\[P(\xi=k) = \dfrac{\left( \begin{matrix} M\\ k \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} N-M\\ n-k \end{matrix} \right)}{\left( \begin{matrix} N\\ n \end{matrix} \right)} \]

超几何分布趋向二项分布.

 

连续分布

均匀分布

\(\xi\sim U(a,b),\ a<b\) ，服从均匀分布，密度函数为

\[p(x) = \left\{ \begin{aligned} &\dfrac{1}{b-a},\quad &x\in[a,b]\\ &0,\quad &\mathrm{otherwise} \end{aligned} \right. \]

• 数学期望： \(E\xi = \dfrac{a+b}{2}\) .
• 方差： \(Var\xi = \dfrac{(b-a)^2}{12}\) .
• 特征函数： \(f(t) = \dfrac{e^{itb}-e^{ita}}{i(b-a)t}\) .

特别的，当 \(\xi\sim U(-a,a)\) 时，有 \(f(t) = \dfrac{\sin at}{at}\) .

 

正态分布

\(\xi\sim N(a,\sigma^2),\ \sigma > 0\) ，服从正态分布，密度函数为

\[p(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}} \]

当 \(a=0,\ \sigma = 1\) 时，称为标准正态分布 \(N(0,1)\) ； \(\eta = \frac{\xi-a}{\sigma}\) 称为标准化随机变量，它服从 \(N(0,1)\)

• 标准正态分布： \(\Phi(1) = 0.8413,\ \Phi(2) = 0.97725,\ \Phi(3) = 0.99865\) .

• 数学期望： \(E\xi = a\) .

• 方差： \(Var\xi = \sigma^2\) .

• 特征函数： \(f(t) = e^{iat-\frac{\sigma^2t^2}{2}}\) .

相加性质：若 \(\xi,\ \eta\) 相互独立，且 \(\xi\sim N(a,\sigma_1^2),\ \eta\sim N(b,\sigma_2^2)\) ，则 \(\xi+\eta\sim N(a+b,\sigma_1^2+\sigma_2^2),\ \xi-\eta\sim N(a-b,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\) .

 

二维正态分布

二维正态分布满足

\[B = \left( \begin{matrix} \sigma_1^2 & r\sigma_1\sigma_2\\ r\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{matrix} \right),\quad \sigma_1,\sigma_2>0,\ |r|<1,\ \mathbf{x}=(x,y)^T,\ \mathbf{a}=(a,b)^T \]

则有

\[B^{-1} = \dfrac{1}{|B|} \left( \begin{matrix} \sigma_1^2 & -r\sigma_1\sigma_2\\ -r\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{matrix} \right) \]

密度函数为

\[p(x,y) = \dfrac{1}{2\pi \sigma_1\sigma_2\sqrt{1-r^2}}e^{-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^TB^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{a})} \]

记为 \((\xi,\eta)\sim N(a,b,\sigma_1^2,\sigma_2^2,r)\) .

 

例 若 \((\xi,\eta)\sim N(a,b,\sigma_1^2,\sigma_2^2,r)\) ，则求 \(\zeta = \xi+\eta\) 的分布.

利用正态分布的性质， \(\xi\sim N(a,\sigma_1^2),\ \eta\sim N(b,\sigma_2^2)\) ，从而 \(\zeta\sim N(a+b,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\) .

 

边际密度就是分离出的两个正态分布

\[p_{\xi}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma_1^2}},\quad p_{\eta}(y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}e^{-\frac{(y-b)^2}{2\sigma_2^2}} \]

因此二维正态分布的边际分布仍为正态分布.

 

指数分布

\(\xi\sim E(\lambda)\) ，参数 \(\lambda>0\) ，服从指数分布，密度函数为

\[p(x) = \left\{ \begin{aligned} &\lambda e^{-\lambda x},\quad &x\ge 0\\ &0,\quad &x<0 \end{aligned} \right. \]

• 数学期望： \(\lambda^{-1}\)
• 方差： \(\lambda^{-2}\) .
• 特征函数： \(f(t) = \dfrac{\lambda}{\lambda-it}\) .

 

习题

7. 有 \(12\) 台车床独立工作，每台开车时间占总工作时间的 \(2/3\) ，开车时每台需要 \(1\) 单位电力，则若供给 \(9\) 单位电力，则因电力不足耽误生产的概率.

由题意 \(P(工作) = 2/3\) ，记 \(\xi\) 为工作的台数，则只需考虑

\[P(\xi > 9) = \sum_{k=10}^{12} \left( \begin{matrix} 12\\ k \end{matrix} \right) \left(\dfrac{2}{3}\right)^k \left(\dfrac{1}{3}\right)^{12-k} \]

此题的关键在于开车时间占总工作时间的 \(2/3\) 意味着工作的概率为 \(2/3\) .

 

28. 推广的伯努利试验，每次有三种可能 \(A_1,A_2,A_3\) ，概率为 \(p_1,p_2,p_3\) ，进行 \(n\) 次重复独立实验，则求 \(A_1,A_2\) 出现次数的联合分布.

记 \(A_1\) 有 \(\xi\) 次， \(A_2\) 有 \(\eta\) 次，则

\[P(\xi = i,\eta = j) = \left( \begin{matrix} n\\ i \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} n-i\\ j \end{matrix} \right) p_1^ip_2^jp_3^{n-i-j} \]

为联合分布，边际分布易得.

 

31. 联合分布 \((\xi,\eta)\) 的密度函数为

\[p(x,y) = \left\{ \begin{aligned} &Ae^{-(2x+y)},\quad &x,y>0\\ &0,\quad &\mathrm{otherwise} \end{aligned} \right. \]

则可以算出 \(A = 2\) ，计算

\[P(\xi<2,0<\eta<1) = \int_{0}^2dx\int_0^1p(x,y)dy\\ P(\xi+\eta<2) = \int_{x+y<2}p(x,y)dxdy = \int_0^2dx\int_0^{2-x}p(x,y)dy\\ P(\xi=\eta) = \int_{x-y=0}p(x,y)dxdy = \int_{0}^{+\infty}dx\int_x^{x}p(x,y)dy = 0 \]

这里使用了二重积分的转换.

 

43. 设 \(\xi\sim P(\lambda)\) ，则求 \(\eta = a+b\xi,\ \zeta = \xi^2\) 的分布.

\[P(\eta=a+bk) = P(\xi=k) = \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\ P(\zeta = k^2) = P(\xi = k) = \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\ k=0,1,\cdots \]

 

48. 利用分布函数求解随机变量函数的密度函数。设 \(\xi\) 有密度函数 \(p(x)\) ，则求分布密度

• \(\eta = 1/\xi,\ P(\xi=0) = 0\)

\[F_{\eta}(x) = P(\eta\le x) = P(1/\xi \le x) = \left\{ \begin{aligned} &\int_{1/x}^{0}p(u)du,\quad x<0\\ &\int_{-\infty}^{0}p(u)du + \int_{1/x}^{+\infty}p(u)du,\quad x<0,\quad x\ge0 \end{aligned} \right. \]

需要注意 \(\xi\) 和 \(x\) 都有正负号的问题：

当 \(x<0\) ，必有 \(\xi < 0\) ，从而 \([1/x,0]\) 是积分区间；

当 \(x>0\) ，分为 \(\xi<0\) 和 \(\xi > 0\) 两种情况，从而有两端积分区间；

故有密度函数 \(p_{\eta}(x) = F_{\eta}^{\prime}(x) = p(1/x)/x^2,\ x\neq 0\) .

 

• \(\eta = \tan\xi\)

\[F_{\eta}(x) = P(\eta\le x) = P(\xi \le \arctan x) = \int_{-\infty}^{\arctan x}p(u)du \]

故有密度函数 \(p_{\eta}(x) = p(\arctan x)/(1+x^2)\) .

 

50. 连续型随机变量函数的变换。若 \(\xi\sim N(a,\sigma^2)\) ，则 \(\eta = e^{\xi}\) 的密度函数.

\[p_{\eta}(y) = \left\{ \begin{aligned} &p_{\xi}(f^{-1}(y))\left|\left[f^{-1}(y)\right]^{\prime}\right|,\quad &y\in f(x)\\ &0,\quad &\mathrm{otherwise} \end{aligned} \right. \]

其中 \(f(x) = e^x\) ，取反函数 \(f^{-1}(y) = \ln y\) ，注意定义域为 \(y>0\) .

 

55. 系统 \(L\) 由 \(L_1,L_2\) 组成，寿命分别为 \(X\sim E(a),Y\sim E(b)\) ，则 \(L\) 的寿命 \(Z\) 的密度函数.

• \(L_1,L_2\) 串联

此时 \(Z = \min\{X,Y\}\) ，有分布函数

\[F_Z(z) = 1 - P(X > z)P(Y > z) = 1 - [1-F_X(z)][1-F_Y(z)] \]

故有密度函数 \(p_Z(z) = F_Z^{\prime}(z)\) .

• \(L_1,L_2\) 并联

此时 \(Z = \max\{X,Y\}\) ，有分布函数

\[F_Z(z) = P(X \le z)P(Y \le z) = F_X(z)F_Y(z) \]

故有密度函数 \(p_Z(z) = F_Z^{\prime}(z)\) .

• \(L_1,L_2\) 互为备用

此时 \(Z = X+Y\) ，由卷积公式

\[p_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}p_X(x)p_Y(z-x)dx \]

这是卷积公式的直接应用.

 

58. 在 \((0,a)\) 线段上随机投掷两点，求两点距离的密度函数.

将点的坐标设为 \(x,y\) ，则有距离的分布函数

\[F(z) = \int_{|x-y|\le z}p_{X}(x)p_Y(y)dxdy = \dfrac{1}{a^2}\int_{|x-y|\le z}dxdy = \left\{ \begin{aligned} &0,\quad &z<0\\ &1 - \dfrac{(a-z)^2}{a^2},\quad &0\le z\le a\\ &1,\quad &z>a \end{aligned} \right. \]

求导得到密度函数.

 

63. 设 \((\xi,\eta)\) 服从二元正态分布 \(N(0,0,\sigma_1^2,\sigma_2^2,r)\) ，求 \(\xi+\eta,\ \xi-\eta\) 相互独立的充要条件.

根据线性变换

\[C = \left( \begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{matrix} \right) \]

可以看出 \(\xi+\eta,\ \xi-\eta\) 也服从二元正态分布，因此相互独立的充要条件为

\[Cov(\xi+\eta,\ \xi-\eta) = 0\ \Leftrightarrow\ Cov(\xi,\xi) - Cov(\eta,\eta) = 0\ \Leftrightarrow\ D\xi = D\eta \]

从而有 \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\) .

 

68. 设 \((\xi,\eta,\zeta)\) 有联合密度

\[p(x,y,z) = \left\{ \begin{aligned} &\dfrac{6}{(1+x+y+z)^4},\quad &x,y,z>0\\ &0,\quad &\mathrm{otherwise} \end{aligned} \right. \]

求 \(U = \xi+\eta+\zeta\) 的密度函数.

我们令 \(V = \eta,\ W=\zeta\) ，则得到

\[\left\{ \begin{aligned} &u = x+y+z\\ &v = y\\ &w = z \end{aligned} \right.\\ (x,y,z > 0) \]

从而有反函数组

\[\left\{ \begin{aligned} &x = u-v-w\\ &y = v\\ &z = w \end{aligned} \right.\\ (v>0,w>0,u>v+w) \]

易得 \(|J| = 1\) ，因此有联合密度 \(P_{UVW}(u,v,w) = 6(1+u)^{-4},\ (v>0,w>0,u>v+w)\) ，然后求取边际密度即可.

 

补 设 \(\xi_1,\xi_2,\xi_3\) 独立同分布，服从参数为 \(1\) 的指数分布，令 \(W_1 = \frac{\xi_1}{\xi_1+\xi_2+\xi_3},\ W_2 = \frac{\xi_1+\xi_2}{\xi_1+\xi_2+\xi_3}\) ，求 \(W_1,W_2\) 的联合分布.

参数不足，可以添加新的参数，取 \(\eta_1 = \xi_1,\ \eta_2=\xi_1+\xi_2,\ \eta_3=\xi_1+\xi_2+\xi_3\) ，容易求出它们的联合分布；添加 \(W_3 = \xi_1+\xi_2+\xi_3\) ，则有反函数组

\[\left\{ \begin{aligned} &x_1 = \omega_1\omega_3\\ &x_2 = \omega_1\omega_3\\ &x_3 = \omega_3 \end{aligned} \right.\quad (\omega_1,\omega_2,\omega_3>0) \]

求出 \(W_1,W_2,W_3\) 的联合分布，然后取边际分布即可，需要注意定义域.