概率公理化

 

概率空间

随机试验的每一基本结果称为样本点,通常记作 ω ;样本点的全体称为样本空间,通常记作 Ω .

事件是样本点的集合,如果在一次试验中样本点 ωA 出现,则称事件 A​ 发生;如果 AB 不可能同时发生,即 AB= ,就称 AB 互不相容;如果 AB 不可能同时发生,并且 AB 至少发生一个,就称 AB 互为逆事件.

 

三元体 (Ω,F,P) 构成概率空间,其中

  • 样本空间 Ω ,是样本点 ω 的全体

  • 事件域 F ,它是一个 σ 代数

    • ΩF
    • AF ,则 A¯F
    • A1,A2,,An,F ,则 n=1AnF
  • 概率 P ,是定义在 F 上的实值函数

    • 非负性: P(A)0
    • 规范性: P(Ω)=1
    • 可列可加性:若 A1,A2,,An 两两互不相容,则

P(n=1An)=n=1P(An)

 

性质 (有限可加性)AiAj=, i,j=1,2,,n,ij ,则

P(i=1nAi)=i=1nP(Ai)

Proof. 利用可列可加性证明

P(i=1nAi)=P(i=1nAi+++)=i=1nP(Ai)+P()+P()+=i=1nP(Ai)

注意到这里用到了 P()=0 ,这也是通过类似的上述方法证明的.

 

由上面容易得到

  • BA ,则 P(A)=P(B)+P(AB)
  • P(A)=P(AB)+P(AB)
  • P(AB)=P(A)+P(B)P(AB) ,因为 AB=A+AB

 

例 1.22 n 个士兵,每人一把枪,随机取枪,求至少一人拿到自己枪的概率.

我们设 Ai 为第 i 个人拿到第 i 支枪的概率,则应求 P(A1A2An) ,只需分别计算

P(Ai), P(AiAj), , P(A1A2An)

然后利用它们的多还少补定理即证.

 

条件概率

P(A|B) 表示 B 发生时 A 发生的概率,它称为事件 A 关于事件 B条件概率.

 

定义P(B)0 ,则条件概率定义为

P(A|B)=P(AB)P(B)

这意味着重要的分解 P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) .

 

贝叶斯公式

定义 若事件列 {A1,A2,,An,} 满足条件

  • Ai,Aj 两两不相容,且 P(Ai)>0
  • iAi=Ω

则称其为 Ω 的一个完备事件组,也称为一个分割.

 

全概率公式{A1,A2,,An,} 为完备事件组,则有

P(B)=i=1nP(B|Ai)P(Ai)

通过可列可加性容易得证;它将 “全部” 概率 P(B) 分解为一些部分之和.

 

贝叶斯公式{A1,A2,,An,} 为完备事件组,则有

P(Ai|B)=P(AiB)P(B)=P(B|Ai)P(Ai)k=1nP(B|Ak)P(Ak)

P(Ai) 是在不知 B 是否发生的情况下,人们对 Ai 发生可能性大小的认识,称为先验 priori 概率 ;当我们知道 B 发生,人们对 Ai 发生可能性大小的认识有了新的估计,得到条件概率 P(Ai|B) ,称为后验 posteriori 概率.

 

使用血清甲胎蛋白法诊断肝癌。用 C 表示被检测者确实患有肝癌的事件, A 表示判断被检测者患有肝癌的事件,已知

P(A|C)=0.95,P(A¯|C¯)=0.90,P(C)=0.0004

如果一个人用此法检测患有肝癌,则此人确实患有肝癌的概率.

我们需要求被检测患有肝癌的情况下确实患有肝癌的概率,即

P(C|A)=P(C)P(A|C)P(C)P(A|C)+P(C¯)P(A|C¯)

容易得到

P(C¯)=1P(C)=0.9996,P(A|C¯)=1P(A¯|C¯)=0.10

代入计算得到 P(C|A)=0.0038 .

 

事件独立

P(AB)=P(A)P(B) 则称 AB 独立;注意独立和不相容不同,如果 AB 不相容,且 P(A)P(B)0 ,则 AB 不独立

P(AB)=0P(A)P(B)

 

对于多个事件,若 A, B, C 满足

{P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)

并且

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

则称 A, B, C 相互独立.

 

例 1.41 (分支过程)种群个体独立繁衍,每个个体产生 k 个下一代的概率为pk, k=0,1, ,记 m=k=1kpk 。设开始第零代只有一个个体,若有 m1, p1<1 ,则该生物灭绝的概率为 1 .

Proof.A 表示生物灭绝, Bk 表示第一代有 k 个个体,则有

q=P(A)=k=0P(A|Bk)P(Bk)

由于独立繁衍,每个第一代繁衍灭绝的概率仍为 q ,因此 P(A|Bk)=qk ,从而

q=k=0qkpk

考虑函数 g(s)=k=0skpk ,则 qg(s)=s 的解,对导数进行分析,得到函数的性质即证.

 

试验独立

n 个试验 E1,E2,,En ,每个试验的结果都是一个事件。如果 Ei,Ej 的任一事件之间相互独立,则称 E1,E2,,En 相互独立.

Ei 的样本空间为 Ωi ,则构造复合试验 E=(E1,E2,,En) ,对应样本空间 Ω=Ω1××Ωn 是样本空间的直积.

我们将任一试验中的事件都放到复合样本空间中,就得到复合事件 Ω1××A(i)××Ωn ,于是这些试验相互独立表示为

P(A(1)A(n))=P(A(1))P(A(n))

如果一次随机试验 E 只有 AA¯ 两种相反的结果,这种随机试验称为伯努利试验; n 次重复独立的伯努利试验,这种概率模型称为伯努利概型.

 

习题

  1. 每个蚕产 k 个卵的概率为 λkeλ/k!, λ>0 ,而每个卵变成成虫的概率为 p ,各卵是否变成成虫相互独立,则每蚕养出 r 个小蚕的概率

P=k=rλkeλk!(kr)pr(1p)kr=k=rλkeλr!(kr)!pr(1p)kr=n=0λn+reλr!n!pr(1p)n=(λp)reλr!n=0(λλp)nn!=(λp)reλr!eλλp=(λp)rr!eλp

注意利用 ex 的幂级数展开式.

 

  1. 单位时间间隔内收到 k 条短信的概率为 λkeλ/k!, λ>0 ,若任意两个相邻间隔收到短信次数相互独立,则在两个单位时间间隔收到 s 条短信的概率

P=k=0s(sk)λkeλk!λskeλ(sk)!=λse2λs!k=0s(sk)2=λse2λs!k=0s(sk)(ssk)=λse2λs!(1+1)s=(2λ)se2λs!

利用组合数的性质.

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