概率空间
随机试验的每一基本结果称为样本点,通常记作 ω ;样本点的全体称为样本空间,通常记作 Ω .
事件是样本点的集合,如果在一次试验中样本点 ω∈A 出现,则称事件 A 发生;如果 A 与 B 不可能同时发生,即 A∩B=∅ ,就称 A 与 B 互不相容;如果 A 与 B 不可能同时发生,并且 A 与 B 至少发生一个,就称 A 与 B 互为逆事件.
三元体 (Ω,F,P) 构成概率空间,其中
-
样本空间 Ω ,是样本点 ω 的全体
-
事件域 F ,它是一个 σ 代数
- Ω∈F
- 若 A∈F ,则 ¯¯¯¯A∈F
- 若 A1,A2,⋯,An,⋯∈F ,则 ∪∞n=1An∈F
-
概率 P ,是定义在 F 上的实值函数
- 非负性: P(A)≥0
- 规范性: P(Ω)=1
- 可列可加性:若 A1,A2,⋯,An 两两互不相容,则
P(∞∑n=1An)=∞∑n=1P(An)
性质 (有限可加性) 若 AiAj=∅, i,j=1,2,⋯,n,i≠j ,则
P(n∑i=1Ai)=n∑i=1P(Ai)
Proof. 利用可列可加性证明
P(n∑i=1Ai)=P(n∑i=1Ai+∅+∅+⋯)=n∑i=1P(Ai)+P(∅)+P(∅)+⋯=n∑i=1P(Ai)
注意到这里用到了 P(∅)=0 ,这也是通过类似的上述方法证明的.
由上面容易得到
- 若 B⊂A ,则 P(A)=P(B)+P(A−B)
- P(A)=P(A∖B)+P(AB)
- P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB) ,因为 A∪B=A+A∖B
例 1.22 n 个士兵,每人一把枪,随机取枪,求至少一人拿到自己枪的概率.
我们设 Ai 为第 i 个人拿到第 i 支枪的概率,则应求 P(A1∪A2∪⋯∪An) ,只需分别计算
P(Ai), P(AiAj), ⋯, P(A1A2⋯An)
然后利用它们的多还少补定理即证.
条件概率
用 P(A|B) 表示 B 发生时 A 发生的概率,它称为事件 A 关于事件 B 的条件概率.
定义 若 P(B)≠0 ,则条件概率定义为
P(A|B)=P(AB)P(B)
这意味着重要的分解 P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) .
贝叶斯公式
定义 若事件列 {A1,A2,⋯,An,⋯} 满足条件
- Ai,Aj 两两不相容,且 P(Ai)>0
- ∑∞iAi=Ω
则称其为 Ω 的一个完备事件组,也称为一个分割.
全概率公式 设 {A1,A2,⋯,An,⋯} 为完备事件组,则有
P(B)=n∑i=1P(B|Ai)P(Ai)
通过可列可加性容易得证;它将 “全部” 概率 P(B) 分解为一些部分之和.
贝叶斯公式 设 {A1,A2,⋯,An,⋯} 为完备事件组,则有
P(Ai|B)=P(AiB)P(B)=P(B|Ai)P(Ai)∑nk=1P(B|Ak)P(Ak)
P(Ai) 是在不知 B 是否发生的情况下,人们对 Ai 发生可能性大小的认识,称为先验 priori 概率 ;当我们知道 B 发生,人们对 Ai 发生可能性大小的认识有了新的估计,得到条件概率 P(Ai|B) ,称为后验 posteriori 概率.
例 使用血清甲胎蛋白法诊断肝癌。用 C 表示被检测者确实患有肝癌的事件, A 表示判断被检测者患有肝癌的事件,已知
P(A|C)=0.95,P(¯¯¯¯A|¯¯¯¯C)=0.90,P(C)=0.0004
如果一个人用此法检测患有肝癌,则此人确实患有肝癌的概率.
我们需要求被检测患有肝癌的情况下确实患有肝癌的概率,即
P(C|A)=P(C)⋅P(A|C)P(C)⋅P(A|C)+P(¯¯¯¯C)⋅P(A|¯¯¯¯C)
容易得到
P(¯¯¯¯C)=1−P(C)=0.9996,P(A|¯¯¯¯C)=1−P(¯¯¯¯A|¯¯¯¯C)=0.10
代入计算得到 P(C|A)=0.0038 .
事件独立
若 P(AB)=P(A)P(B) 则称 A 与 B 独立;注意独立和不相容不同,如果 A 与 B 不相容,且 P(A)P(B)≠0 ,则 A 与 B 不独立
P(AB)=0≠P(A)P(B)
对于多个事件,若 A, B, C 满足
⎧⎪⎨⎪⎩P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)
并且
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
则称 A, B, C 相互独立.
例 1.41 (分支过程)种群个体独立繁衍,每个个体产生 k 个下一代的概率为pk, k=0,1,⋯ ,记 m=∑∞k=1kpk 。设开始第零代只有一个个体,若有 m≤1, p1<1 ,则该生物灭绝的概率为 1 .
Proof. 设 A 表示生物灭绝, Bk 表示第一代有 k 个个体,则有
q=P(A)=∞∑k=0P(A|Bk)P(Bk)
由于独立繁衍,每个第一代繁衍灭绝的概率仍为 q ,因此 P(A|Bk)=qk ,从而
q=∞∑k=0qkpk
考虑函数 g(s)=∑∞k=0skpk ,则 q 是 g(s)=s 的解,对导数进行分析,得到函数的性质即证.
试验独立
n 个试验 E1,E2,⋯,En ,每个试验的结果都是一个事件。如果 Ei,Ej 的任一事件之间相互独立,则称 E1,E2,⋯,En 相互独立.
记 Ei 的样本空间为 Ωi ,则构造复合试验 E=(E1,E2,⋯,En) ,对应样本空间 Ω=Ω1×⋯×Ωn 是样本空间的直积.
我们将任一试验中的事件都放到复合样本空间中,就得到复合事件 Ω1×⋯×A(i)×⋯×Ωn ,于是这些试验相互独立表示为
P(A(1)⋯A(n))=P(A(1))⋯P(A(n))
如果一次随机试验 E 只有 A 与 ¯¯¯¯A 两种相反的结果,这种随机试验称为伯努利试验; n 次重复独立的伯努利试验,这种概率模型称为伯努利概型.
习题
- 每个蚕产 k 个卵的概率为 λke−λ/k!, λ>0 ,而每个卵变成成虫的概率为 p ,各卵是否变成成虫相互独立,则每蚕养出 r 个小蚕的概率
P=∞∑k=rλke−λk!⋅(kr)pr(1−p)k−r=∞∑k=rλke−λr!(k−r)!pr(1−p)k−r=∞∑n=0λn+re−λr!n!pr(1−p)n=(λp)re−λr!∞∑n=0(λ−λp)nn!=(λp)re−λr!eλ−λp=(λp)rr!e−λp
注意利用 ex 的幂级数展开式.
- 单位时间间隔内收到 k 条短信的概率为 λke−λ/k!, λ>0 ,若任意两个相邻间隔收到短信次数相互独立,则在两个单位时间间隔收到 s 条短信的概率
P=s∑k=0(sk)λke−λk!λs−ke−λ(s−k)!=λse−2λs!s∑k=0(sk)2=λse−2λs!s∑k=0(sk)(ss−k)=λse−2λs!(1+1)s=(2λ)se−2λs!
利用组合数的性质.
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· DeepSeek “源神”启动!「GitHub 热点速览」
· 我与微信审核的“相爱相杀”看个人小程序副业
· 微软正式发布.NET 10 Preview 1:开启下一代开发框架新篇章
· C# 集成 DeepSeek 模型实现 AI 私有化(本地部署与 API 调用教程)
· spring官宣接入deepseek,真的太香了~