最速下降法
考虑线性方程组 \(Ax=b\) ，其中 \(A\) 是对称正定阵，定义二次泛函
\[\varphi(x) = x^TAx - 2b^Tx
\]
定理 5.1.1 设 \(A\) 对称正定，则 \(Ax=b\) 的解等价于二次泛函 \(\varphi(x)\) 的极小值点.
证明 事实上，直接计算梯度有
\[\mathrm{grad}\ \varphi(x) = 2(Ax-b) = -2r
\]
则 \(Ax=b\) 的解是 \(\varphi(x)\) 的极小值点.
通常类似于盲人爬山法，给定任意一个初始向量 \(x_0\) ，确定一个下山方向 \(p_0\) ，沿着经过 \(x_0\) 方向为 \(p_0\) 的直线 \(x=x_0+\alpha p_0\) 找一个点 \(x_1 = x_0+\alpha_0 p_0\) ，使得该点是这条直线上 \(\varphi(x)\) 的最小值，以此类推，得到一系列 \(\alpha_k,\ p_k,\ x_k\) ；
我们先考虑如何确定步长 \(\alpha_k\) ，令
\[f(\alpha) = \varphi(x_k+\alpha p_k) = \alpha^2p_k^TAp_k - 2\alpha r_k^T p_k + \varphi(x_k)
\]
只需要找到导数为零的位置即可，则
\[\alpha_k = \dfrac{r_k^Tp_k}{p_k^TAp_k}
\]
这样就确定了步长，容易验证这恰好就是 \(f\) 的极小值点，因此我们得到 \(x_{k+1}\) ；
接着，由于我们知道梯度 \(\mathrm{grad}\ \varphi(x) = -2r\) ，梯度的负方向就是下降最快的方向，因此 \(p_k = r_k\) .
定理 5.1.2 设 \(A\) 的特征值为 \(0<\lambda_1\le \cdots\le \lambda_n\) ，则上述方法得到的序列 \(\{x_k\}\) 满足
\[\|x_{k} - x_*\|_A = \left(\dfrac{\lambda_n-\lambda_1}{\lambda_n+\lambda_1}\right)^k\|x_0-x_*\|_A
\]
其中 \(x_* = A^{-1}b,\ \|x\|_A = \sqrt{x^TAx}\) .
引理 5.1.1 设 \(A\) 的特征值为 \(0<\lambda_1\le \cdots\le \lambda_n\) ， \(P(t)\) 是一个 \(t\) 的多项式，则
\[\|P(A)x\|_A \le \max_{1\le i\le n}|P(\lambda_i)|\|x\|_A,\quad x\in\mathbb{R}^n
\]
此引理说明了 \(A\) 的多项式与其特征值的多项式之间的关系.
共轭梯度法
最速下降法虽然保证了每一步都选取最优的下降方向和步长，但是并不一定是整体最优，因此我们需要进行改进：
给定 \(x_0\) 在第一步仍选取 \(p_0 = r_0\) ，则有
\[\alpha_0 = \dfrac{r_0^Tr_0}{p_0^TAp_0},\quad x_1 = x_0 + \alpha_0p_0,\quad r_1 = b-Ax_1
\]
在之后第 \(k+1\) 步，我们在 \(r_k,\ p_{k-1}\) 张成的平面
\[\pi_2 = \{x=x_k+\xi r_k+\eta p_{k-1}: \xi,\eta\in\mathbb{R}\}
\]
内找到新的下山方向，我们可以考虑二元函数
\[\psi(\xi,\eta) = \varphi(x_k+\xi r_k+\eta p_{k-1})
\]
为了找出极值点，可以令 \(\phi\) 的偏导为零
\[\begin{aligned}
0 = \dfrac{\partial \psi}{\partial \xi} &= 2\left(\xi r_k^TA r_k + \eta r_k^TA p_{k-1} - r_k^Tr_k\right)\\
0 = \dfrac{\partial \psi}{\partial \eta} &= 2\left(\xi r_k^TA p_{k-1} + \eta p_{k-1}^TA p_{k-1}\right)
\end{aligned}
\]
其中第二个式子用到了 \(r_k,\ p_{k-1}\) 正交，这是因为每当选定了下山方向 \(p_{k-1}\) ，都会按照最速下降法中的方法取
\[\alpha_{k-1} = \dfrac{r_{k-1}^Tp_{k-1}}{p_{k-1}^TAp_{k-1}},\quad x_k = x_{k-1} + \alpha_{k-1}p_{k-1},\quad r_k = b - Ax_k
\]
这样我们就有
\[\begin{aligned}
r_k^Tp_{k-1} &= b^Tp_{k-1} - x_{k}^TAp_{k-1}\\
&= b^Tp_{k-1} - (x_{k-1}^T + \alpha_{k-1}p_{k-1}^T)Ap_{k-1}\\
&= r_{k-1}^Tp_{k-1} - \alpha_{k-1}p_{k-1}^TAp_{k-1}\\
&= 0
\end{aligned}
\]
设唯一极小值点
\[\widetilde{x} = x_k+\xi_0r_k + \eta_0p_{k-1}
\]
其中 \(\xi_0,\ \eta_0\) 满足
\[\left\{
\begin{aligned}
&\xi_0r_k^TAr_k + \eta_0r_k^TAp_{k-1} = r_k^Tr_k\\
&\xi_0r_k^TAp_{k-1} + \eta_0p_{k-1}^TAp_{k-1} = 0
\end{aligned}
\right.
\]
注意到上式蕴含着 \(r_k\neq0\) 必有 \(\xi_0\neq 0\) ，事实上，若 \(\xi_0=0\) ，则
\[\left\{
\begin{aligned}
&\eta_0r_k^TAp_{k-1} = r_k^Tr_k\\
&\eta_0p_{k-1}^TAp_{k-1} = 0
\end{aligned}
\right.\ \Rightarrow\ \eta_0 \neq 0,\ p_{k-1} = 0\ \Rightarrow\ r_k = 0
\]
因此根据极值点位置，我们可以取
\[p_k = \dfrac{1}{\xi_0}(\widetilde{x}-x_k) = r_k+\dfrac{\eta_0}{\xi_0}p_{k-1}
\]
作为新的下山方向，令 \(\beta_{k-1} = \eta_0/\xi_0\) ，代入第二个方程得到
\[p_k = r_k+\beta_{k-1}p_{k-1},\quad \beta_{k-1} = -\dfrac{r_k^TAp_{k-1}}{p_{k-1}^TAp_{k-1}}
\]
注意这样确定的 \(p_k\) 满足 \(p_k^TAp_{k-1} = 0\) ，即 \(p_k,\ p_{k-1}\) 相互共轭，于是有
\[\begin{aligned}
\alpha_k &= \dfrac{r_k^Tp_k}{p_k^TAp_k},\quad x_{k+1} = x_k + \alpha_kp_k,\quad r_{k+1} = b-Ax_{k+1}\\
\beta_k &= -\dfrac{r_{k+1}^TAp_k}{p_k^TAp_k},\quad p_{k+1} = r_{k+1} + \beta_kp_k
\end{aligned}
\]
为了简化计算，注意到
\[r_k^Tr_{k+1} = r_k^Tp_{k-1} = r_{k+1}^Tp_k = 0,\quad k=1,2,\cdots
\]
这些关系在下面的定理中得到证明。从上式可以导出
\[\begin{aligned}
r_{k+1} &= b-Ax_{k+1} = b - A(x_k+\alpha_kp_k) = r_{k} - \alpha_kAp_k\\
r_{k+1}^TAp_k &= \dfrac{1}{\alpha_k}r_{k+1}^T\alpha_kAp_k = \dfrac{1}{\alpha_k}r_{k+1}^T(r_k-r_{k+1}) = -\dfrac{1}{\alpha_k}r_{k+1}^Tr_{k+1}\\
p_k^TAp_k &= \dfrac{1}{\alpha_k}p_k^T\alpha_kAp_k = \dfrac{1}{\alpha_k}p_k^T(r_k-r_{k+1}) = \dfrac{1}{\alpha_k}p_k^Tr_k\\
& = \dfrac{1}{\alpha_k}(r_{k}^T+\beta_{k-1}p_{k-1}^T)r_k = \dfrac{1}{\alpha_k}r_k^Tr_k
\end{aligned}
\]
从而我们得到
\[\alpha_k = \dfrac{r_k^Tr_k}{p_k^TAp_k},\quad \beta_k = \dfrac{r_{k+1}^Tr_{k+1}}{r_k^Tr_k}
\]
这意味着每一步迭代只需使用一次 \(A\) 计算 \(p_k^TAp_k\) .
定理 5.2.1 共轭梯度法得到的向量组 \(\{r_i\},\ \{p_i\}\) 满足
- \(p_i^Tr_j = 0,\ 0\le i<j\le k\)
- \(r_i^Tr_j = 0,\ i\neq j,\ 0\le i,j\le k\)
- \(p_i^TAp_j = 0,\ i\neq j,\ 0\le i,j\le k\)
- \(\mathrm{span}\{r_0,\cdots,r_k\} = \mathrm{span}\{p_0,\cdots,p_k\} = \mathcal{K}(A,r_0,k+1)\) ，其中
\[\mathcal{K}(A,r_0,k+1) = \mathrm{span}\{r_0,Ar_0,\cdots,A^kr_0\}
\]
通常称之为 Krylov 子空间.
证明 应用归纳法，可以验证它们对于 \(k=1\) 都成立，其中 (1) 式前面已经证明；对于 (2) 式，由归纳假设
\[\mathrm{span}\{r_0,\cdots,r_k\} = \mathrm{span}\{p_0,\cdots,p_k\}
\]
而由 (1) 有 \(r_{k+1}\) 与 \(\mathrm{span}\{p_0,\cdots,p_k\}\) 正交，即证； (3) 式利用
\[p_{k+1} = r_{k+1} + \beta_kp_k,\quad Ap_i = \dfrac{1}{\alpha_i}(r_i-r_{i+1})
\]
通过定义可证；由于
\[r_{k+1} = r_k - \alpha_kAp_k\in\mathcal{K}(A,r_0,k+2)\\
p_{k+1} = r_{k+1} + \beta_kp_k\in\mathcal{K}(A,r_0,k+2)
\]
并且由之前的结论，两个向量组是线性无关的，因此即证.
由于每一步得到的两个向量组正交，因此至多 \(n\) 步就可以得到精确的解.
定理 5.2.2 共轭梯度法得到的近似解 \(x_k\) 满足
\[\varphi(x) = \min\{\varphi(x):x\in x_0+\mathcal{K}(A,r_0,k)\}
\]
或者
\[\|x_k-x_*\|_A = \min\{\|x-x_*\|_A:x\in x_0+\mathcal{K}(A,r_0,k)\}
\]
其中 \(\|x\|_A=\sqrt{x^TAx}\) ， \(x_*\) 是方程组 \(Ax=b\) 的解， \(\mathcal{K}(A,r_0,k)\) 是 Krylov 子空间.
定理 5.3.1 若 \(A = I + B\) ，且 \(\mathrm{rank}(B) = r\) ，则共轭梯度法至多迭代 \(r+1\) 步即可得到精确解.
证明 注意到 \(\mathrm{rank}(B) = r\) 蕴含着
\[\mathrm{span}\{r_0,Ar_0,\cdots,A^kr_0\} = \mathrm{span}\{r_0,Br_0,\cdots,B^kr_0\}
\]
事实上 \(A^k = (I+B)^k\) ，即 \(A\) 的幂总是可以表示为 \(B\) 的幂的线性组合，而右边子空间维数不超过 \(r+1\) ，即证.
定理 5.3.2 共轭梯度法得到的近似解 \(x_k\) 满足
\[\|x_k-x_*\|_A\le 2\left(\dfrac{\sqrt{\kappa_2}-1}{\sqrt{\kappa_2}+1}\right)^k\|x_0-x_*\|_A
\]
其中 \(\kappa_2=\kappa_2(A)=\|A\|_2\left\|A^{-1}\right\|_2\) .
