N-皇后问题

n−皇后问题是指将n个皇后放在n×n的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。
输入格式
共一行，包含整数n。
输出格式
每个解决方案占n行，每行输出一个长度为n的字符串，用来表示完整的棋盘状态。
其中.表示某一个位置的方格状态为空，Q表示某一个位置的方格上摆着皇后。
每个方案输出完成后，输出一个空行。
注意：行末不能有多余空格。
输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。
数据范围
1≤n≤9
输入样例

4

输出样例

.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

这是一道经典的dfs搜索题目，按照搜索顺序的不同，有以下两种解法（ps代码模板来自yxc大佬）。
解法1
按照行的顺序搜索。

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 10;
int n;
char g[N][N];
bool col[N], dg[N], udg[N];

void dfs(int u) {
    if(u == n) {
        for(int i = 0; i < n; i++) puts(g[i]);
        puts("");
        return;
    }
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        if(!col[i] && !dg[u + i] && !udg[n - u + i]) {
            g[u][i] = 'Q';
            col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = true;
            dfs(u + 1);
            col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = false;
            g[u][i] = '.';
        }
    }
}


int main() {
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < n; j++) {
            g[i][j] = '.';
        }
    }
    dfs(0);
    return 0;
}

时间复杂度：\(\mathcal{O}(n\cdot n!)\)
解法2
按照格子顺序搜索。

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 10;
int n;
char g[N][N];
bool row[N], col[N], dg[N], udg[N];

void dfs(int x, int y, int s) {
    if(y == n) y = 0, x++;
    if(x == n) {
        if(s == n) {
            for(int i = 0; i < n; i++) puts(g[i]);
            puts("");
        }
        return;
    }
    //不放皇后
    dfs(x, y + 1, s);
    //放皇后
    if(!row[x] && !col[y] && !dg[y + x] && !udg[y - x + n]) {
        g[x][y] = 'Q';
        row[x] = col[y] = dg[y + x] = udg[y - x + n] = true;
        dfs(x, y + 1, s + 1);
        row[x] = col[y] = dg[y + x] = udg[y  - x + n] = false;
        g[x][y] = '.';
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < n; j++) {
            g[i][j] = '.';
        }
    }
    dfs(0, 0, 0);
    return 0;
}

时间复杂度：\(\mathcal{O}(2^{n^2})\)