MATLAB学习笔记(七)——MATLAB解方程与函数极值
(一)线性方程组求解
包含n个未知数,由n个方程构成的线性方程组为:
其中
一、直接求解法
1、左除法
x=A\b;
如果A是奇异的,或者接近奇异的。MATLAB会发出警告信息的。
2、利用矩阵的分解来求解线性方程组(比单单进行左除速度快)
(1)LU分解(只有方阵可以使用)
LU分解就是分解成一个交换下三角矩阵(也就是说进行一定的操作后才是下三角矩阵)和一个上三角矩阵(不需要变换)的乘积形式。只要A是非奇异的,就可以进行LU分解。
MATLAB提供的LU分解函数对于矩阵进行LU分解:
[L,U]=lu(X); %X必须是方阵
[L,U,P]=lu(X); %PX=LU。X必须是方阵
实现LU分解之后,线性方程组Ax=b的解就为x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)、
(2)QR分解(A是非奇异的)
QR分解就是分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。只要A是非奇异的,就可以进行QR分解。QR只能对方阵进行分解。
[Q,R]=qr(X); %X=QR
[Q,R,E]=qr(X); %XE=QR
实现QR分解之后,解为x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。
(3)Cholesky分解(X是正定的)
如果X是正定的。则将矩阵分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。上三角矩阵为R,下三角矩阵为其转置,X=R’R.
MATLAB进行CHolesky分解方法:
R=chol(X); [R,p]=chol(X); %p=0则为正定矩阵,返回一个R,或者p为一个正整数q=p-1,满足R'R=X(1:q,1:q)
则线性方程组的解为x=R\(R’\b)
二、迭代法求解(求解大型系数矩阵的方程组)
1、Jacobi迭代法
(1)原理解释
对于Ax=b,如果A为非奇异,那么A就可以分解成一个对角阵D,一个下三角阵L和一个上三角阵U,使得A=D-L-U。则
然后得到迭代公式为
如果收敛的话,就可得到方程的解。
(2)MATLAB编程求解(= =,很简单的迭代。但是如果没有解的话,会得到NAN= = )
function [y,n]=jacobi(A,b,x0,eps) %A为系数矩阵,b为向量,x0为初值。 if nargin==3 %输入参数至少为3个 eps=1.0e-6; elseif nargin<3 error return end D=diag(diag(A)); %求A得对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵(没有对主对角线),由于是拆成A=D-L-U,所以前面加了“-”号,下同 U=-triu(A,1); %求A的上三角阵(没有对主对角线)。 B=D\(L+U); f=D\b; y=B*x0+f; n=1; %迭代次数 while norm(y-x0)>=eps x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end
(3)一个demo
x = 0.9958 0.9579 0.7916 n = 11
2、Gauss-Serdel迭代法
(1)原理说明
由于每一次的x都已经算出来了,就没比较再从头算一次了。就是省略了无效的迭代次数,然后我们就得到一个新的迭代公式。
(2)MATLAB编程求解
function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps) %A为系数矩阵,b为列向量,x0为初值。 if nargin==3 eps=1.0e-6; elseif nargin<3 error return end D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵 U=-triu(A,1); %求A的上三角阵 G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; y=G*x0+f; n=1; while norm(y-x0)>=eps x0=y; y=G*x0+f; n=n+1; end
PS:
使用迭代法,一般只能找到一组解(离初值最近的解)。然后使用迭代法,一定要能收敛才能够使用。
(三)——常微分方程初值问题的数值解法
一般是比较难解出来解析解,所以一般求得离散解就很不错了。
一、龙格——库塔法简介
1、由中值定理可得:
所以,根据上述递推式之后能够计算未知函数y在点,i=0,1,……,n的一列的数值解。
当然,使用的递推公式都会有一个误差累计的问题,所以我们使用龙格——库塔公式:
2、MATLAB封装的龙格——库塔法实现
[t,y]=ode23('fname',tspan,y0); [t,y]=ode45('fname',tspan,y0);
其中,fname是定义f(t,y)的函数文件名,该函数文件必须返回一个列向量。
tspan形式为[t0,tf],表示求解区间。
y0是初始状态列向量。
t,y分别给出求解的相应向量。
然后自己会自动采用步长大小,所以效率还是不错的。
3、demo1
MATLAB编程求解
t0=0;tf=10; y0=2; [t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0); %龙格——库塔法的离散解 y1=sqrt(t+1)+1; %精确解 plot(t,y,'-b*'); hold on; plot(t,y1,':ro');
红色是精确解,蓝色是离散解,可以得到差距不大。
4、demo2
对于高阶的常微分方程。首先要转换为一阶常微分方程组。即状态方程(上面有两点表示二次导数= =)
MATLAB求解
t0=0;tf=20; x0=[0;0.25]; [t,x]=ode23('funt',[t0,tf],x0) subplot(1,2,1);plot(t,x); subplot(1,2,2);plot(x(:,1),x(:,2));
![image image](http://images0.cnblogs.com/blog/657755/201502/171143173307728.png)
(四)函数极值
1、MATLAB求解方法
x=fmin('fname',x1,x2); %求单变量函数的最小值 x=fmins('fname',x0); %求多变量函数的最小值
![image image](http://images0.cnblogs.com/blog/657755/201503/010940135967541.png)