2024-02-26 17:35阅读: 16评论: 0推荐: 0

《hello-algo》搜索 —— 小记随笔

二分查找

「二分查找 binary search」是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性,每轮缩小一半搜索范围,直至找到目标元素或搜索区间为空为止

给定一个长度为 (n) 的数组 nums ,元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素 target 在该数组中的索引。若数组不包含该元素,则返回 (-1) 。示例如图 10-1 所示。

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我们先初始化指针 (i = 0) 和 (j = n - 1) ,分别指向数组首元素和尾元素,代表搜索区间 ([0, n - 1]) 。请注意,中括号表示闭区间,其包含边界值本身。

接下来,循环执行以下两步。

  1. 计算中点索引 (m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor) ,其中 (\lfloor : \rfloor) 表示向下取整操作。
  2. 判断 nums[m] 和 target 的大小关系,分为以下三种情况。
  • 当 nums[m] < target 时,说明 target 在区间 ([m + 1, j]) 中,因此执行 (i = m + 1) 。
  • 当 nums[m] > target 时,说明 target 在区间 ([i, m - 1]) 中,因此执行 (j = m - 1) 。
  • 当 nums[m] = target 时,说明找到 target ,因此返回索引 (m) 。

值得注意的是,由于 (i) 和 (j) 都是 int 类型,因此 (i + j) 可能会超出 int 类型的取值范围。为了避免大数越界,我们通常采用公式 (m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor) 来计算中点。

/* 二分查找(双闭区间) */
func binarySearch(nums []int, target int) int {
// 初始化双闭区间 [0, n-1] ,即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
i, j := 0, len(nums)-1
// 循环,当搜索区间为空时跳出(当 i > j 时为空)
for i <= j {
m := i + (j-i)/2 // 计算中点索引 m
if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1
} else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1
} else { // 找到目标元素,返回其索引
return m
}
}
// 未找到目标元素,返回 -1
return -1
}

时间复杂度为 (O(\log n)) :在二分循环中,区间每轮缩小一半,因此循环次数为 (\log_2 n) 。
空间复杂度为 (O(1)) :指针 (i) 和 (j) 使用常数大小空间。

区间表示方法

除了上述双闭区间外,常见的区间表示还有“左闭右开”区间,定义为 ([0, n)) ,即左边界包含自身,右边界不包含自身。在该表示下,区间 ([i, j)) 在 (i = j) 时为空。

我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法:

/* 二分查找(左闭右开区间) */
func binarySearchLCRO(nums []int, target int) int {
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ,即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
i, j := 0, len(nums)
// 循环,当搜索区间为空时跳出(当 i = j 时为空)
for i < j {
m := i + (j-i)/2 // 计算中点索引 m
if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1
} else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
j = m
} else { // 找到目标元素,返回其索引
return m
}
}
// 未找到目标元素,返回 -1
return -1
}

如图 10-3 所示,在两种区间表示下,二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。

由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间,因此通过指针 (i) 和指针 (j) 缩小区间的操作也是对称的。这样更不容易出错,因此一般建议采用“双闭区间”的写法。

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优点与局限性

二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。

  • 二分查找的时间效率高。在大数据量下,对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如,当数据大小 (n = 2^{20}) 时,线性查找需要 (2^{20} = 1048576) 轮循环,而二分查找仅需 (\log_2 2^{20} = 20) 轮循环。
  • 二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法(例如哈希查找),二分查找更加节省空间。

然而,二分查找并非适用于所有情况,主要有以下原因。

  • 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序,为了使用二分查找而专门进行排序,得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 (O(n \log n)) ,比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景,为保持数组有序性,需要将元素插入到特定位置,时间复杂度为 (O(n)) ,也是非常昂贵的。
  • 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式(非连续地)访问元素,而在链表中执行跳跃式访问的效率较低,因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
  • 小数据量下,线性查找性能更佳。在线性查找中,每轮只需 1 次判断操作;而在二分查找中,需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法(减法),共 4 ~ 6 个单元操作;因此,当数据量 (n) 较小时,线性查找反而比二分查找更快。

二分查找插入点

无重复元素的情况

给定一个长度为 (n) 的有序数组 nums 和一个元素 target ,数组不存在重复元素。现将 target 插入数组 nums 中,并保持其有序性。若数组中已存在元素 target ,则插入到其左方。请返回插入后 target 在数组中的索引。示例如图所示。

img

问题一:当数组中包含 target 时,插入点的索引是否是该元素的索引?

题目要求将 target 插入到相等元素的左边,这意味着新插入的 target 替换了原来 target 的位置。也就是说,当数组包含 target 时,插入点的索引就是该 target 的索引。

问题二:当数组中不存在 target 时,插入点是哪个元素的索引?

进一步思考二分查找过程:当 nums[m] < target 时 (i) 移动,这意味着指针 (i) 在向大于等于 target 的元素靠近。同理,指针 (j) 始终在向小于等于 target 的元素靠近。
因此二分结束时一定有:(i) 指向首个大于 target 的元素,(j) 指向首个小于 target 的元素。易得当数组不包含 target 时,插入索引为 (i) 。代码如下所示:

/* 二分查找插入点(无重复元素) */
func binarySearchInsertionSimple(nums []int, target int) int {
// 初始化双闭区间 [0, n-1]
i, j := 0, len(nums)-1
for i <= j {
// 计算中点索引 m
m := i + (j-i)/2
if nums[m] < target {
// target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1
} else if nums[m] > target {
// target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1
} else {
// 找到 target ,返回插入点 m
return m
}
}
// 未找到 target ,返回插入点 i
return i
}

存在重复元素的情况

在上一题的基础上,规定数组可能包含重复元素,其余不变。

假设数组中存在多个 target ,则普通二分查找只能返回其中一个 target 的索引,而无法确定该元素的左边和右边还有多少 target。
题目要求将目标元素插入到最左边,所以我们需要查找数组中最左一个 target 的索引。初步考虑通过图 10-5 所示的步骤实现。

  • 执行二分查找,得到任意一个 target 的索引,记为 (k) 。
  • 从索引 (k) 开始,向左进行线性遍历,当找到最左边的 target 时返回。

img

此方法虽然可用,但其包含线性查找,因此时间复杂度为 (O(n)) 。当数组中存在很多重复的 target 时,该方法效率很低。

现考虑拓展二分查找代码。如图 10-6 所示,整体流程保持不变,每轮先计算中点索引 (m) ,再判断 target 和 nums[m] 的大小关系,分为以下几种情况。

  • 当 nums[m] < target 或 nums[m] > target 时,说明还没有找到 target ,因此采用普通二分查找的缩小区间操作,从而使指针 (i) 和 (j) 向 target 靠近。
  • 当 nums[m] == target 时,说明小于 target 的元素在区间 ([i, m - 1]) 中,因此采用 (j = m - 1) 来缩小区间,从而使指针 (j) 向小于 target 的元素靠近。

循环完成后,(i) 指向最左边的 target ,(j) 指向首个小于 target 的元素,因此索引 (i) 就是插入点。

/* 二分查找插入点(存在重复元素) */
func binarySearchInsertion(nums []int, target int) int {
// 初始化双闭区间 [0, n-1]
i, j := 0, len(nums)-1
for i <= j {
// 计算中点索引 m
m := i + (j-i)/2
if nums[m] < target {
// target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1
} else if nums[m] > target {
// target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1
} else {
// 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1
}
}
// 返回插入点 i
return i
}

二分查找边界

查找左边界

给定一个长度为 (n) 的有序数组 nums ,其中可能包含重复元素。请返回数组中最左一个元素 target 的索引。若数组中不包含该元素,则返回 (-1) 。

考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。请注意,数组中可能不包含 target ,这种情况可能导致以下两种结果。

  • 插入点的索引 (i) 越界。
  • 元素 nums[i] 与 target 不相等。

当遇到以上两种情况时,直接返回 (-1) 即可。代码如下所示:

/* 二分查找最左一个 target */
func binarySearchLeftEdge(nums []int, target int) int {
// 等价于查找 target 的插入点
i := binarySearchInsertion(nums, target)
// 未找到 target ,返回 -1
if i == len(nums) || nums[i] != target {
return -1
}
// 找到 target ,返回索引 i
return i
}

查找右边界

那么如何查找最右一个 target 呢?最直接的方式是修改代码,替换在 nums[m] == target 情况下的指针收缩操作

下面我们介绍两种更加取巧的方法。

复用查找左边界

实际上,我们可以利用查找最左元素的函数来查找最右元素,具体方法为:将查找最右一个 target 转化为查找最左一个 target + 1。
查找完成后,指针 (i) 指向最左一个 target + 1(如果存在),而 (j) 指向最右一个 target ,因此返回 (j) 即可。

img

返回的插入点是 (i) ,因此需要将其减 (1) ,从而获得 (j) :

/* 二分查找最右一个 target */
func binarySearchRightEdge(nums []int, target int) int {
// 转化为查找最左一个 target + 1
i := binarySearchInsertion(nums, target+1)
// j 指向最右一个 target ,i 指向首个大于 target 的元素
j := i - 1
// 未找到 target ,返回 -1
if j == -1 || nums[j] != target {
return -1
}
// 找到 target ,返回索引 j
return j
}

转化为查找元素

我们知道,当数组不包含 target 时,最终 (i) 和 (j) 会分别指向首个大于、小于 target 的元素。我们可以构造一个数组中不存在的元素,用于查找左右边界。

  • 查找最左一个 target :可以转化为查找 target - 0.5 ,并返回指针 (i) 。
  • 查找最右一个 target :可以转化为查找 target + 0.5 ,并返回指针 (j) 。

img

代码在此省略,以下两点值得注意。

  • 给定数组不包含小数,这意味着我们无须关心如何处理相等的情况。
  • 因为该方法引入了小数,所以需要将函数中的变量 target 改为浮点数类型(Python 无须改动)。

哈希优化策略

我们常通过将线性查找替换为哈希查找来降低算法的时间复杂度。

给定一个整数数组 nums 和一个目标元素 target ,请在数组中搜索“和”为 target 的两个元素,并返回它们的数组索引。返回任意一个解即可。

线性查找:以时间换空间

考虑直接遍历所有可能的组合。如图 10-9 所示,我们开启一个两层循环,在每轮中判断两个整数的和是否为 target ,若是,则返回它们的索引。

img

/* 方法一:暴力枚举 */
func twoSumBruteForce(nums []int, target int) []int {
size := len(nums)
// 两层循环,时间复杂度为 O(n^2)
for i := 0; i < size-1; i++ {
for j := i + 1; i < size; j++ {
if nums[i]+nums[j] == target {
return []int{i, j}
}
}
}
return nil
}

此方法的时间复杂度为 (O(n^2)) ,空间复杂度为 (O(1)) ,在大数据量下非常耗时。

哈希查找:以空间换时间

考虑借助一个哈希表,键值对分别为数组元素和元素索引。循环遍历数组,每轮执行图 10-10 所示的步骤。

  • 判断数字 target - nums[i] 是否在哈希表中,若是,则直接返回这两个元素的索引。
  • 将键值对 nums[i] 和索引 i 添加进哈希表。

img

/* 方法二:辅助哈希表 */
func twoSumHashTable(nums []int, target int) []int {
// 辅助哈希表,空间复杂度为 O(n)
hashTable := map[int]int{}
// 单层循环,时间复杂度为 O(n)
for idx, val := range nums {
if preIdx, ok := hashTable[target-val]; ok {
return []int{preIdx, idx}
}
hashTable[val] = idx
}
return nil
}

此方法通过哈希查找将时间复杂度从 (O(n^2)) 降至 (O(n)) ,大幅提升运行效率。

由于需要维护一个额外的哈希表,因此空间复杂度为 (O(n)) 。尽管如此,该方法的整体时空效率更为均衡,因此它是本题的最优解法。

重识搜索算法

「搜索算法 searching algorithm」用于在数据结构(例如数组、链表、树或图)中搜索一个或一组满足特定条件的元素。

搜索算法可根据实现思路分为以下两类。

  • 通过遍历数据结构来定位目标元素,例如数组、链表、树和图的遍历等。
  • 利用数据组织结构或数据包含的先验信息,实现高效元素查找,例如二分查找、哈希查找和二叉搜索树查找等。

暴力搜索

暴力搜索通过遍历数据结构的每个元素来定位目标元素。

  • “线性搜索”适用于数组和链表等线性数据结构。它从数据结构的一端开始,逐个访问元素,直到找到目标元素或到达另一端仍没有找到目标元素为止。
  • “广度优先搜索”和“深度优先搜索”是图和树的两种遍历策略。广度优先搜索从初始节点开始逐层搜索,由近及远地访问各个节点。深度优先搜索从初始节点开始,沿着一条路径走到头,再回溯并尝试其他路径,直到遍历完整个数据结构。

暴力搜索的优点是简单且通用性好,无须对数据做预处理和借助额外的数据结构。
然而,此类算法的时间复杂度为 (O(n)) ,其中 (n) 为元素数量,因此在数据量较大的情况下性能较差。

自适应搜索

自适应搜索利用数据的特有属性(例如有序性)来优化搜索过程,从而更高效地定位目标元素。

  • “二分查找”利用数据的有序性实现高效查找,仅适用于数组。
  • “哈希查找”利用哈希表将搜索数据和目标数据建立为键值对映射,从而实现查询操作。
  • “树查找”在特定的树结构(例如二叉搜索树)中,基于比较节点值来快速排除节点,从而定位目标元素。
    此类算法的优点是效率高,时间复杂度可达到 (O(\log n)) 甚至 (O(1)) 。
    然而,使用这些算法往往需要对数据进行预处理。例如,二分查找需要预先对数组进行排序,哈希查找和树查找都需要借助额外的数据结构,维护这些数据结构也需要额外的时间和空间开销。

搜索方法选取

给定大小为 (n) 的一组数据,我们可以使用线性搜索、二分查找、树查找、哈希查找等多种方法从中搜索目标元素。各个方法的工作原理如图 10-11 所示。

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搜索算法的选择还取决于数据体量、搜索性能要求、数据查询与更新频率等。

线性搜索

  • 通用性较好,无须任何数据预处理操作。假如我们仅需查询一次数据,那么其他三种方法的数据预处理的时间比线性搜索的时间还要更长。
  • 适用于体量较小的数据,此情况下时间复杂度对效率影响较小。
  • 适用于数据更新频率较高的场景,因为该方法不需要对数据进行任何额外维护。

二分查找

  • 适用于大数据量的情况,效率表现稳定,最差时间复杂度为 (O(\log n)) 。
  • 数据量不能过大,因为存储数组需要连续的内存空间。
  • 不适用于高频增删数据的场景,因为维护有序数组的开销较大。

哈希查找

  • 适合对查询性能要求很高的场景,平均时间复杂度为 (O(1)) 。
  • 不适合需要有序数据或范围查找的场景,因为哈希表无法维护数据的有序性。
  • 对哈希函数和哈希冲突处理策略的依赖性较高,具有较大的性能劣化风险。
  • 不适合数据量过大的情况,因为哈希表需要额外空间来最大程度地减少冲突,从而提供良好的查询性能。

树查找

  • 适用于海量数据,因为树节点在内存中是分散存储的。
  • 适合需要维护有序数据或范围查找的场景。
  • 在持续增删节点的过程中,二叉搜索树可能产生倾斜,时间复杂度劣化至 (O(n)) 。
  • 若使用 AVL 树或红黑树,则各项操作可在 (O(\log n)) 效率下稳定运行,但维护树平衡的操作会增加额外的开销。

本文作者:Blue Mountain

本文链接:https://www.cnblogs.com/BlueMountain-HaggenDazs/p/18034000

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