《hello-algo》图—— 小记随笔
图
「图 graph」是一种非线性数据结构,由「顶点 vertex」和「边 edge」组成。我们可以将图 (G) 抽象地表示为一组顶点 (V) 和一组边 (E) 的集合。以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图。
[ \begin{aligned} V & = { 1, 2, 3, 4, 5 } \newline E & = { (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) } \newline G & = { V, E } \newline \end{aligned} ]
如果将顶点看作节点,将边看作连接各个节点的引用(指针),我们就可以将图看作一种从链表拓展而来的数据结构。如图 9-1 所示,相较于线性关系(链表)和分治关系(树),网络关系(图)的自由度更高,因而更为复杂。
图的常见类型与术语
根据边是否具有方向,可分为「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」
- 在无向图中,边表示两顶点之间的“双向”连接关系,例如微信或 QQ 中的“好友关系”。
- 在有向图中,边具有方向性,即 (A \rightarrow B) 和 (A \leftarrow B) 两个方向的边是相互独立的,例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。
根据所有顶点是否连通,可分为「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」
- 对于连通图,从某个顶点出发,可以到达其余任意顶点。
- 对于非连通图,从某个顶点出发,至少有一个顶点无法到达。
我们还可以为边添加“权重”变量,从而得到如图 9-4 所示的「有权图 weighted graph」。例如在《王者荣耀》等手游中,系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”,这种亲密度网络就可以用有权图来表示。
图数据结构包含以下常用术语。
- 「邻接 adjacency」:当两顶点之间存在边相连时,称这两顶点“邻接”。
- 「路径 path」:从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。
- 「度 degree」:一个顶点拥有的边数。对于有向图,「入度 in-degree」表示有多少条边指向该顶点,「出度 out-degree」表示有多少条边从该顶点指出。
图的表示
图的常用表示方式包括“邻接矩阵”和“邻接表”。以下使用无向图进行举例。
邻接矩阵
设图的顶点数量为 (n) ,「邻接矩阵 adjacency matrix」使用一个 (n \times n) 大小的矩阵来表示图,每一行(列)代表一个顶点,矩阵元素代表边,用 (1) 或 (0) 表示两个顶点之间是否存在边。
设邻接矩阵为 (M)、顶点列表为 (V) ,那么矩阵元素 (M[i, j] = 1) 表示顶点 (V[i]) 到顶点 (V[j]) 之间存在边,反之 (M[i, j] = 0) 表示两顶点之间无边。
邻接矩阵具有以下特性。
- 顶点不能与自身相连,因此邻接矩阵主对角线元素没有意义。
- 对于无向图,两个方向的边等价,此时邻接矩阵关于主对角线对称。
- 将邻接矩阵的元素从 (1) 和 (0) 替换为权重,则可表示有权图。
使用邻接矩阵表示图时,我们可以直接访问矩阵元素以获取边,因此增删查改操作的效率很高,时间复杂度均为 (O(1)) 。然而,矩阵的空间复杂度为 (O(n^2)) ,内存占用较多。
邻接表
「邻接表 adjacency list」使用 (n) 个链表来表示图,链表节点表示顶点。第 (i) 个链表对应顶点 (i) ,其中存储了该顶点的所有邻接顶点(与该顶点相连的顶点)。图 9-6 展示了一个使用邻接表存储的图的示例。
邻接表仅存储实际存在的边,而边的总数通常远小于 (n^2) ,因此它更加节省空间。然而,在邻接表中需要通过遍历链表来查找边,因此其时间效率不如邻接矩阵。
邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似,因此我们也可以采用类似的方法来优化效率。比如当链表较长时,可以将链表转化为 AVL 树或红黑树,从而将时间效率从 (O(n)) 优化至 (O(\log n)) ;还可以把链表转换为哈希表,从而将时间复杂度降至 (O(1)) 。
图的常见应用
许多现实系统可以用图来建模,相应的问题也可以约化为图计算问题。
图的基础操作
图的基础操作可分为对“边”的操作和对“顶点”的操作。在“邻接矩阵”和“邻接表”两种表示方法下,实现方式有所不同。
基于邻接矩阵的实现
- 添加或删除边:直接在邻接矩阵中修改指定的边即可,使用 (O(1)) 时间。而由于是无向图,因此需要同时更新两个方向的边。
- 添加顶点:在邻接矩阵的尾部添加一行一列,并全部填 (0) 即可,使用 (O(n)) 时间。
- 删除顶点:在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况,需要将 ((n-1)^2) 个元素“向左上移动”,从而使用 (O(n^2)) 时间。
- 初始化:传入 (n) 个顶点,初始化长度为 (n) 的顶点列表 vertices ,使用 (O(n)) 时间;初始化 (n \times n) 大小的邻接矩阵 adjMat ,使用 (O(n^2)) 时间。
/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */ type graphAdjMat struct { // 顶点列表,元素代表“顶点值”,索引代表“顶点索引” vertices []int // 邻接矩阵,行列索引对应“顶点索引” adjMat [][]int } /* 构造函数 */ func newGraphAdjMat(vertices []int, edges [][]int) *graphAdjMat { // 添加顶点 n := len(vertices) adjMat := make([][]int, n) for i := range adjMat { adjMat[i] = make([]int, n) } // 初始化图 g := &graphAdjMat{ vertices: vertices, adjMat: adjMat, } // 添加边 // 请注意,edges 元素代表顶点索引,即对应 vertices 元素索引 for i := range edges { g.addEdge(edges[i][0], edges[i][1]) } return g } /* 获取顶点数量 */ func (g *graphAdjMat) size() int { return len(g.vertices) } /* 添加顶点 */ func (g *graphAdjMat) addVertex(val int) { n := g.size() // 向顶点列表中添加新顶点的值 g.vertices = append(g.vertices, val) // 在邻接矩阵中添加一行 newRow := make([]int, n) g.adjMat = append(g.adjMat, newRow) // 在邻接矩阵中添加一列 for i := range g.adjMat { g.adjMat[i] = append(g.adjMat[i], 0) } } /* 删除顶点 */ func (g *graphAdjMat) removeVertex(index int) { if index >= g.size() { return } // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点 g.vertices = append(g.vertices[:index], g.vertices[index+1:]...) // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行 g.adjMat = append(g.adjMat[:index], g.adjMat[index+1:]...) // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列 for i := range g.adjMat { g.adjMat[i] = append(g.adjMat[i][:index], g.adjMat[i][index+1:]...) } } /* 添加边 */ // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引 func (g *graphAdjMat) addEdge(i, j int) { // 索引越界与相等处理 if i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j { fmt.Errorf("%s", "Index Out Of Bounds Exception") } // 在无向图中,邻接矩阵关于主对角线对称,即满足 (i, j) == (j, i) g.adjMat[i][j] = 1 g.adjMat[j][i] = 1 } /* 删除边 */ // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引 func (g *graphAdjMat) removeEdge(i, j int) { // 索引越界与相等处理 if i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j { fmt.Errorf("%s", "Index Out Of Bounds Exception") } g.adjMat[i][j] = 0 g.adjMat[j][i] = 0 } /* 打印邻接矩阵 */ func (g *graphAdjMat) print() { fmt.Printf("\t顶点列表 = %v\n", g.vertices) fmt.Printf("\t邻接矩阵 = \n") for i := range g.adjMat { fmt.Printf("\t\t\t%v\n", g.adjMat[i]) } }
基于邻接表的实现
设无向图的顶点总数为 (n)、边总数为 (m)
- 添加边:在顶点对应链表的末尾添加边即可,使用 (O(1)) 时间。因为是无向图,所以需要同时添加两个方向的边。
- 删除边:在顶点对应链表中查找并删除指定边,使用 (O(m)) 时间。在无向图中,需要同时删除两个方向的边。
- 添加顶点:在邻接表中添加一个链表,并将新增顶点作为链表头节点,使用 (O(1)) 时间。
- 删除顶点:需遍历整个邻接表,删除包含指定顶点的所有边,使用 (O(n + m)) 时间。
- 初始化:在邻接表中创建 (n) 个顶点和 (2m) 条边,使用 (O(n + m)) 时间。*
以下是邻接表的代码实现。
- 为了方便添加与删除顶点,以及简化代码,我们使用列表(动态数组)来代替链表。
- 使用哈希表来存储邻接表,key 为顶点实例,value 为该顶点的邻接顶点列表(链表)。
另外,我们在邻接表中使用 Vertex 类来表示顶点,这样做的原因是:如果与邻接矩阵一样,用列表索引来区分不同顶点,那么假设要删除索引为 (i) 的顶点,则需遍历整个邻接表,将所有大于 (i) 的索引全部减 (1) ,效率很低。而如果每个顶点都是唯一的 Vertex 实例,删除某一顶点之后就无须改动其他顶点了。
/* 基于邻接表实现的无向图类 */ type graphAdjList struct { // 邻接表,key:顶点,value:该顶点的所有邻接顶点 adjList map[Vertex][]Vertex } /* 构造函数 */ func newGraphAdjList(edges [][]Vertex) *graphAdjList { g := &graphAdjList{ adjList: make(map[Vertex][]Vertex), } // 添加所有顶点和边 for _, edge := range edges { g.addVertex(edge[0]) g.addVertex(edge[1]) g.addEdge(edge[0], edge[1]) } return g } /* 获取顶点数量 */ func (g *graphAdjList) size() int { return len(g.adjList) } /* 添加边 */ func (g *graphAdjList) addEdge(vet1 Vertex, vet2 Vertex) { _, ok1 := g.adjList[vet1] _, ok2 := g.adjList[vet2] if !ok1 || !ok2 || vet1 == vet2 { panic("error") } // 添加边 vet1 - vet2, 添加匿名 struct{}, g.adjList[vet1] = append(g.adjList[vet1], vet2) g.adjList[vet2] = append(g.adjList[vet2], vet1) } /* 删除边 */ func (g *graphAdjList) removeEdge(vet1 Vertex, vet2 Vertex) { _, ok1 := g.adjList[vet1] _, ok2 := g.adjList[vet2] if !ok1 || !ok2 || vet1 == vet2 { panic("error") } // 删除边 vet1 - vet2 g.adjList[vet1] = DeleteSliceElms(g.adjList[vet1], vet2) g.adjList[vet2] = DeleteSliceElms(g.adjList[vet2], vet1) } /* 添加顶点 */ func (g *graphAdjList) addVertex(vet Vertex) { _, ok := g.adjList[vet] if ok { return } // 在邻接表中添加一个新链表 g.adjList[vet] = make([]Vertex, 0) } /* 删除顶点 */ func (g *graphAdjList) removeVertex(vet Vertex) { _, ok := g.adjList[vet] if !ok { panic("error") } // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表 delete(g.adjList, vet) // 遍历其他顶点的链表,删除所有包含 vet 的边 for v, list := range g.adjList { g.adjList[v] = DeleteSliceElms(list, vet) } } /* 打印邻接表 */ func (g *graphAdjList) print() { var builder strings.Builder fmt.Printf("邻接表 = \n") for k, v := range g.adjList { builder.WriteString("\t\t" + strconv.Itoa(k.Val) + ": ") for _, vet := range v { builder.WriteString(strconv.Itoa(vet.Val) + " ") } fmt.Println(builder.String()) builder.Reset() } }
效率对比
观察表 9-2 ,似乎邻接表(哈希表)的时间效率与空间效率最优。但实际上,在邻接矩阵中操作边的效率更高,只需一次数组访问或赋值操作即可。综合来看,邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则,而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。
图的遍历
树代表的是“一对多”的关系,而图则具有更高的自由度,可以表示任意的“多对多”关系。因此,我们可以把树看作图的一种特例。显然,树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例。
图和树都需要应用搜索算法来实现遍历操作。图的遍历方式也可分为两种:「广度优先遍历」和「深度优先遍历」。
广度优先遍历
广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式,从某个节点出发,始终优先访问距离最近的顶点,并一层层向外扩张
算法实现
BFS 通常借助队列来实现,代码如下所示。队列具有“先入先出”的性质,这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。
- 将遍历起始顶点 startVet 加入队列,并开启循环。
- 在循环的每轮迭代中,弹出队首顶点并记录访问,然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。
- 循环步骤 2. ,直到所有顶点被访问完毕后结束。
/* 广度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点 func graphBFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex { // 顶点遍历序列 res := make([]Vertex, 0) // 哈希表,用于记录已被访问过的顶点 visited := make(map[Vertex]struct{}) visited[startVet] = struct{}{} // 队列用于实现 BFS, 使用切片模拟队列 queue := make([]Vertex, 0) queue = append(queue, startVet) // 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点 for len(queue) > 0 { // 队首顶点出队 vet := queue[0] queue = queue[1:] // 记录访问顶点 res = append(res, vet) // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for _, adjVet := range g.adjList[vet] { _, isExist := visited[adjVet] // 只入队未访问的顶点 if !isExist { queue = append(queue, adjVet) visited[adjVet] = struct{}{} } } } // 返回顶点遍历序列 return res }
广度优先遍历的序列是否唯一?—— 不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历,而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱。以图 9-10 为例,顶点 (1)、(3) 的访问顺序可以交换,顶点 (2)、(4)、(6) 的访问顺序也可以任意交换。
复杂度分析
时间复杂度:所有顶点都会入队并出队一次,使用 (O(|V|)) 时间;在遍历邻接顶点的过程中,由于是无向图,因此所有边都会被访问 (2) 次,使用 (O(2|E|)) 时间;总体使用 (O(|V| + |E|)) 时间。
空间复杂度:列表 res ,哈希表 visited ,队列 que 中的顶点数量最多为 (|V|) ,使用 (O(|V|)) 空间。
深度优先遍历
深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式。如图 9-11 所示,从左上角顶点出发,访问当前顶点的某个邻接顶点,直到走到尽头时返回,再继续走到尽头并返回,以此类推,直至所有顶点遍历完成。
算法实现
这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似,在深度优先遍历中,我们也需要借助一个哈希表 visited 来记录已被访问的顶点,以避免重复访问顶点。
/* 深度优先遍历辅助函数 */ func dfs(g *graphAdjList, visited map[Vertex]struct{}, res *[]Vertex, vet Vertex) { // append 操作会返回新的的引用,必须让原引用重新赋值为新slice的引用 *res = append(*res, vet) visited[vet] = struct{}{} // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for _, adjVet := range g.adjList[vet] { _, isExist := visited[adjVet] // 递归访问邻接顶点 if !isExist { dfs(g, visited, res, adjVet) } } } /* 深度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点 func graphDFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex { // 顶点遍历序列 res := make([]Vertex, 0) // 哈希表,用于记录已被访问过的顶点 visited := make(map[Vertex]struct{}) dfs(g, visited, &res, startVet) // 返回顶点遍历序列 return res }
深度优先遍历的序列是否唯一?—— 与广度优先遍历类似,深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点,先往哪个方向探索都可以,即邻接顶点的顺序可以任意打乱,都是深度优先遍历。
以树的遍历为例,“根 (\rightarrow) 左 (\rightarrow) 右”“左 (\rightarrow) 根 (\rightarrow) 右”“左 (\rightarrow) 右 (\rightarrow) 根”分别对应前序、中序、后序遍历,它们展示了三种遍历优先级,然而这三者都属于深度优先遍历。
复杂度分析
时间复杂度:所有顶点都会被访问 (1) 次,使用 (O(|V|)) 时间;所有边都会被访问 (2) 次,使用 (O(2|E|)) 时间;总体使用 (O(|V| + |E|)) 时间。
空间复杂度:列表 res ,哈希表 visited 顶点数量最多为 (|V|) ,递归深度最大为 (|V|) ,因此使用 (O(|V|)) 空间。
本文作者:Blue Mountain
本文链接:https://www.cnblogs.com/BlueMountain-HaggenDazs/p/18033978
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