《hello-algo》堆—— 小记随笔

堆

「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为两种类型

*「小顶堆 min heap」：任意节点的值 (\leq) 其子节点的值。
*「大顶堆 max heap」：任意节点的值 (\geq) 其子节点的值。

堆的常用操作

许多编程语言提供的是「优先队列 priority queue」，这是一种抽象的数据结构，定义为具有优先级排序的队列。

实际上，堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一称作“堆”。

类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过设置一个 flag 或修改 Comparator 实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。代码如下所示：

// Go 语言中可以通过实现 heap.Interface 来构建整数大顶堆
// 实现 heap.Interface 需要同时实现 sort.Interface
type intHeap []any
 
// Push heap.Interface 的方法，实现推入元素到堆
func (h *intHeap) Push(x any) {
    // Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作为参数
    // 因为它们不仅会对切片的内容进行调整，还会修改切片的长度。
    *h = append(*h, x.(int))
}
 
// Pop heap.Interface 的方法，实现弹出堆顶元素
func (h *intHeap) Pop() any {
    // 待出堆元素存放在最后
    last := (*h)[len(*h)-1]
    *h = (*h)[:len(*h)-1]
    return last
}
 
// Len sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Len() int {
    return len(*h)
}
 
// Less sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {
    // 如果实现小顶堆，则需要调整为小于号
    return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
}
 
// Swap sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Swap(i, j int) {
    (*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
}
 
// Top 获取堆顶元素
func (h *intHeap) Top() any {
    return (*h)[0]
}
 
/* Driver Code */
func TestHeap(t *testing.T) {
    /* 初始化堆 */
    // 初始化大顶堆
    maxHeap := &intHeap{}
    heap.Init(maxHeap)
    /* 元素入堆 */
    // 调用 heap.Interface 的方法，来添加元素
    heap.Push(maxHeap, 1)
    heap.Push(maxHeap, 3)
    heap.Push(maxHeap, 2)
    heap.Push(maxHeap, 4)
    heap.Push(maxHeap, 5)
 
    /* 获取堆顶元素 */
    top := maxHeap.Top()
    fmt.Printf("堆顶元素为 %d\n", top)
 
    /* 堆顶元素出堆 */
    // 调用 heap.Interface 的方法，来移除元素
    heap.Pop(maxHeap) // 5
    heap.Pop(maxHeap) // 4
    heap.Pop(maxHeap) // 3
    heap.Pop(maxHeap) // 2
    heap.Pop(maxHeap) // 1
 
    /* 获取堆大小 */
    size := len(*maxHeap)
    fmt.Printf("堆元素数量为 %d\n", size)
 
    /* 判断堆是否为空 */
    isEmpty := len(*maxHeap) == 0
    fmt.Printf("堆是否为空 %t\n", isEmpty)
}

堆的实现

下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取逆（例如，将 (\geq) 替换为 (\leq) ）。感兴趣的读者可以自行实现。

堆的存储与表示

完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，因此我们将采用数组来存储堆。

当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。

给定索引 (i) ，其左子节点的索引为 (2i + 1) ，右子节点的索引为 (2i + 2) ，父节点的索引为 ((i - 1) / 2)（向下整除）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。

/* 获取左子节点的索引 */
func (h *maxHeap) left(i int) int {
    return 2*i + 1
}
 
/* 获取右子节点的索引 */
func (h *maxHeap) right(i int) int {
    return 2*i + 2
}
 
/* 获取父节点的索引 */
func (h *maxHeap) parent(i int) int {
    // 向下整除
    return (i - 1) / 2
}

访问堆顶元素

/* 访问堆顶元素 */
func (h *maxHeap) peek() any {
    return h.data[0]
}

元素入堆

给定元素 val ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏，因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为「堆化 heapify」。

考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化。我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。

设节点总数为 (n) ，则树的高度为 (O(\log n)) 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 (O(\log n)) ，元素入堆操作的时间复杂度为 (O(\log n))

/* 元素入堆 */
func (h *maxHeap) push(val any) {
    // 添加节点
    h.data = append(h.data, val)
    // 从底至顶堆化
    h.siftUp(len(h.data) - 1)
}
 
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
func (h *maxHeap) siftUp(i int) {
    for true {
        // 获取节点 i 的父节点
        p := h.parent(i)
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if p < 0 || h.data[i].(int) <= h.data[p].(int) {
            break
        }
        // 交换两节点
        h.swap(i, p)
        // 循环向上堆化
        i = p
    }
}

堆顶元素出堆

堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。

• 交换堆顶元素与堆底元素（交换根节点与最右叶节点）。
• 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素）。
• 从根节点开始，从顶至底执行堆化。

“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。

/* 元素出堆 */
func (h *maxHeap) pop() any {
    // 判空处理
    if h.isEmpty() {
        fmt.Println("error")
        return nil
    }
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    h.swap(0, h.size()-1)
    // 删除节点
    val := h.data[len(h.data)-1]
    h.data = h.data[:len(h.data)-1]
    // 从顶至底堆化
    h.siftDown(0)
 
    // 返回堆顶元素
    return val
}
 
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
func (h *maxHeap) siftDown(i int) {
    for true {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 max
        l, r, max := h.left(i), h.right(i), i
        if l < h.size() && h.data[l].(int) > h.data[max].(int) {
            max = l
        }
        if r < h.size() && h.data[r].(int) > h.data[max].(int) {
            max = r
        }
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if max == i {
            break
        }
        // 交换两节点
        h.swap(i, max)
        // 循环向下堆化
        i = max
    }
}

堆的常见应用

• 优先队列：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 (O(\log n)) ，而建队操作为 (O(n)) ，这些操作都非常高效。
• 堆排序：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见“堆排序”章节。
• 获取最大的 (k) 个元素：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。

建堆操作

在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。

借助入堆操作实现

我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。

每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”构建的。

设元素数量为 (n) ，每个元素的入堆操作使用 (O(\log{n})) 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 (O(n \log n)) 。

通过遍历堆化实现

实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步。

• 将列表所有元素原封不动地添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
• 倒序遍历堆（层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。

每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”构建的。

之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。

值得说明的是，由于叶节点没有子节点，因此它们天然就是合法的子堆，无须堆化。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化：

/* 构造函数，根据切片建堆 */
func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    h := &maxHeap{data: nums}
    for i := h.parent(len(h.data) - 1); i >= 0; i-- {
        // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
        h.siftDown(i)
    }
    return h
}

复杂度分析

输入列表并建堆的时间复杂度为 (O(n)) ，非常高效。

https://www.hello-algo.com/chapter_heap/build_heap/#823

Top-k 问题

给定一个长度为 (n) 的无序数组 nums ，请返回数组中最大的 (k) 个元素。

方法一：遍历选择

我们可以进行图 8-6 所示的 (k) 轮遍历，分别在每轮中提取第 (1)、(2)、(\dots)、(k) 大的元素，时间复杂度为 (O(nk)) 。

此方法只适用于 (k \ll n) 的情况，因为当 (k) 与 (n) 比较接近时，其时间复杂度趋向于 (O(n^2)) ，非常耗时。

当 (k = n) 时，我们可以得到完整的有序序列，此时等价于“选择排序”算法。

方法二：排序

我们可以先对数组 nums 进行排序，再返回最右边的 (k) 个元素，时间复杂度为 (O(n \log n)) 。

显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需找出最大的 (k) 个元素即可，而不需要排序其他元素。

方法三：堆

我们可以基于堆更加高效地解决 Top-k 问题，流程如图 8-8 所示。

• 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
• 先将数组的前 (k) 个元素依次入堆。
• 从第 (k + 1) 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
• 遍历完成后，堆中保存的就是最大的 (k) 个元素。

/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
func topKHeap(nums []int, k int) *minHeap {
    // 初始化小顶堆
    h := &minHeap{}
    heap.Init(h)
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for i := 0; i < k; i++ {
        heap.Push(h, nums[i])
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for i := k; i < len(nums); i++ {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if nums[i] > h.Top().(int) {
            heap.Pop(h)
            heap.Push(h, nums[i])
        }
    }
    return h
}

总共执行了 (n) 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 (k) ，因此时间复杂度为 (O(n \log k)) 。该方法的效率很高，当 (k) 较小时，时间复杂度趋向 (O(n)) ；当 (k) 较大时，时间复杂度不会超过 (O(n \log n)) 。