BZOJ1467: Pku3243 clever Y

解方程$a^x\equiv b (mod c)$。

扩展bsgs。利用结论：$d=(a,c),a=d*x,b=d*y,c=d*z$，则$x*d\equiv y*d (\mod z*d)$ 等价于 $x \equiv y (mod z)$。

先把$c$消$(a,c)$直到$(a,c)=1$，同时b也消，方程左边也消，假设消了$cnt$次，那么方程就等价于$p*a^{x-cnt} \equiv B (\mod C)$，其中$p$是拿$a^{cnt}$一起消的结果。然后就用普通bsgs即可。

由于这样算出来的答案强制$>=cnt$，因此要先暴力判断$log_2 c$个数是否符合题意。

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#include<cstdio>
#include<map>
#include<math.h>
//#include<time.h>
//#include<complex>
#include<algorithm>
using namespace std;

int a,b,c;

int gcd(int a,int b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (!b) {x=1; y=0; return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x;
    return d;
}
int inv(int a,int p)
{
    int x,y,d=exgcd(a,p,x,y);
    return d==1?(x+p)%p:-1;
}

map<int,int> mp;
int exbsgs(int a,int b,int c)
{
    for (int i=0,t=1;i<32;i++,t=1ll*t*a%c) if (t==b) return i;
    int d=1,cnt=0,tmp;
    while ((tmp=gcd(a,c))!=1)
    {
        if (b%tmp) return -1;
        b/=tmp; c/=tmp; d=1ll*d*(a/tmp)%c; cnt++;
    }
    int m=sqrt(c)+1,e=1; mp.clear();
    for (int i=0;i<m;i++) {if (!mp.count(e)) mp[e]=i; e=1ll*e*a%c;}
    int p=inv(e,c); b=1ll*b*inv(d,c);
    for (int i=0;i<m;i++)
    {
        if (mp.count(b)) return i*m+mp[b]+cnt;
        b=1ll*b*p%c;
    }
    return -1;
}

int main()
{
    while (~scanf("%d%d%d",&a,&c,&b) && (a || b || c))
    {
        int ans=exbsgs(a,b,c);
        printf(ans==-1?"No Solution\n":"%d\n",ans);
    }
    return 0;
}