【BZOJ】1061: [Noi2008]志愿者招募
1061: [Noi2008]志愿者招募
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仅包含一个整数,表示你所设计的最优方案的总费用。
Sample Input
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2
Sample Output
HINT
1 ≤ N ≤ 1000,1 ≤ M ≤ 10000,题目中其他所涉及的数据均 不超过2^31-1。
#include<bits/stdc++.h> #define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i) using namespace std; const int N=102333,inf=214748364; struct Edge{ int to,next,from,c,w; }e[2000000]; int head[N],tot=1,ans,dis[N],from[N],x[N],m,n,a,T,b,c; bool used[N]; inline void ins(int u,int v,int w,int cost) { e[++tot].to=v; e[tot].next=head[u]; head[u]=tot; e[tot].w=w; e[tot].c=cost; e[tot].from=u; } inline bool spfa() { queue<int> q; for(int i=0;i<=T;i++) dis[i]=inf; dis[0]=0; q.push(0); used[0]=1; while(!q.empty()) { int x=q.front(); q.pop(); for(int k=head[x];k;k=e[k].next) if(e[k].w>0&&dis[x]+e[k].c<dis[e[k].to]){ dis[e[k].to]=dis[x]+e[k].c; from[e[k].to]=k; if(!used[e[k].to]) { used[e[k].to]=1; q.push(e[k].to); } } used[x]=0; } if(dis[T]==inf) return 0;else return 1; } inline void run(){ int x=inf; for(int k=from[T];k;k=from[e[k].from]) x=min(x,e[k].w); for(int k=from[T];k;k=from[e[k].from]) { e[k].w-=x; e[k^1].w+=x; ans+=e[k].c*x; } } inline void insert(int u,int v,int w,int c){ ins(u,v,w,c); ins(v,u,0,-c); } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); rep(i,1,n) scanf("%d",&x[i]); T=n+2; rep(i,2,n+1) insert(i,i-1,inf,0); rep(i,1,m) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); insert(a,b+1,inf,c); } rep(i,1,n+1) { if(x[i]-x[i-1]<0) insert(i,T,x[i-1]-x[i],0);else insert(0,i,x[i]-x[i-1],0); } while(spfa()) run(); printf("%d\n",ans); }
这道题正确的解法是构造网络,求网络最小费用最大流,但是模型隐藏得较深,不易想到。构造网络是该题的关键,以下面一个例子说明构图的方法和解释。
例如一共需要4天,四天需要的人数依次是4,2,5,3。有5类志愿者,如下表所示:
种类 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
时间 | 1-2 | 1-1 | 2-3 | 3-3 | 3-4 |
费用 | 3 | 4 | 3 | 5 | 6 |
设雇佣第i类志愿者的人数为X[i],每个志愿者的费用为V[i],第j天雇佣的人数为P[j],则每天的雇佣人数应满足一个不等式,如上表所述,可以列出
P[1] = X[1] + X[2] >= 4
P[2] = X[1] + X[3] >= 2
P[3] = X[3] + X[4] +X[5] >= 5
P[4] = X[5] >= 3
对于第i个不等式,添加辅助变量Y[i] (Y[i]>=0) ,可以使其变为等式
P[1] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4
P[2] = X[1] + X[3] - Y[2] = 2
P[3] = X[3] + X[4] +X[5] - Y[3] = 5
P[4] = X[5] - Y[4] = 3
在上述四个等式上下添加P[0]=0,P[5]=0,每次用下边的式子减去上边的式子,得出
① P[1] - P[0] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4
② P[2] - P[1] = X[3] - X[2] -Y[2] +Y[1] = -2
③ P[3] - P[2] = X[4] + X[5] - X[1] - Y[3] + Y[2] =3
④ P[4] - P[3] = - X[3] - X[4] + Y[3] - Y[4] = -2
⑤ P[5] - P[4] = - X[5] + Y[4] = -3
观察发现,每个变量都在两个式子中出现了,而且一次为正,一次为负。所有等式右边和为0。接下来,根据上面五个等式构图。
- 每个等式为图中一个顶点,添加源点S和汇点T。
- 如果一个等式右边为非负整数c,从源点S向该等式对应的顶点连接一条容量为c,权值为0的有向边;如果一个等式右边为负整数c,从该等式对应的顶点向汇点T连接一条容量为c,权值为0的有向边。
- 如果一个变量X[i]在第j个等式中出现为X[i],在第k个等式中出现为-X[i],从顶点j向顶点k连接一条容量为∞,权值为V[i]的有向边。
- 如果一个变量Y[i]在第j个等式中出现为Y[i],在第k个等式中出现为-Y[i],从顶点j向顶点k连接一条容量为∞,权值为0的有向边。
构图以后,求从源点S到汇点T的最小费用最大流,费用值就是结果。
根据上面的例子可以构造出如下网络,红色的边为每个变量X代表的边,蓝色的边为每个变量Y代表的边,边的容量和权值标已经标出(蓝色没有标记,因为都是容量∞,权值0)。
在这个图中求最小费用最大流,流量网络如下图,每个红色边的流量就是对应的变量X的值。
所以,答案为43+23+3*6=36。
上面的方法很神奇得求出了结果,思考为什么这样构图。我们将最后的五个等式进一步变形,得出以下结果
① - X[1] - X[2] + Y[1] + 4 = 0
② - X[3] + X[2] + Y[2] - Y[1] - 2 = 0
③ - X[4] - X[5] + X[1] + Y[3] - Y[2] + 3 = 0
④ X[3] + X[4] - Y[3] + Y[4] - 2 = 0
⑤ X[5] - Y[4] - 3 = 0
可以发现,每个等式左边都是几个变量和一个常数相加减,右边都为0,恰好就像网络流中除了源点和汇点的顶点都满足流量平衡。每个正的变量相当于流入该顶点的流量,负的变量相当于流出该顶点的流量,而正常数可以看作来自附加源点的流量,负的常数是流向附加汇点的流量。因此可以据此构造网络,求出从附加源到附加汇的网络最大流,即可满足所有等式。而我们还要求最小,所以要在X变量相对应的边上加上权值,然后求最小费用最大流。