HDU4315 Climbing the Hill

题目链接：https://cn.vjudge.net/problem/HDU-4315

知识点：　　博弈论

题目大意：

　　\(Alice\) 和 \(Bob\) 轮流指挥 \(N\) 个人爬山，这 \(N\)个人在山顶下的不同层，国王是第 \(k\) 个人。山的每一层都最多只能容纳 \(1\) 个人（除了山顶），两个玩家每次都能指挥任意一个人向上爬任意层直到山顶，但不能让一个人越过另一个人。指挥国王爬到山顶上即可获胜。

解题思路：

　　首先，如果国王是第一个人，先手必胜。

　　如果 \(N\) 是偶数，关键局面为：对于所有合法的 \(i\)，有第 \(2i\) 个人和第 \(2i-1\) 个人相邻。易知此时当国王是第偶数个人时后手必胜，因为无论先手怎么操作，后手都至少能维持住这个局面，或者取得胜利；当国王是第奇数个人时也是后手必胜，后手可以维持这个关键局面直到国王成为第 \(3\) 个人，并继续保持第 \(2i-1\) 和第 \(2i\) 相邻，先手接下来迟早会被迫将第一个人移到山顶，后手下一步将第二个人移到山顶的下一个位置，这是一个后手必胜的局面。现在游戏已经转换成一个 \(Nim\) 博弈，石子就是第 \(2i-1\) 和第 \(2i\) 个人之间的间隔。

　　如果 \(N\) 是奇数，可以在第一个人前面再想象一个人，他在山顶的再上一层，当第一个人被放到山顶的时候，二者相邻，此时又转换成偶数个人的情况了。有一种特殊情况是当国王是第二个人的时候，那么想象出来的这个人就得放在山顶，当第一个人被放到山顶的下一层时二者即可相邻，因为先手如果将第一个人直接放到山顶，那么后手能直接取胜。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn=1005;
int pos[maxn];
int main(){
    int N,k;
    while(scanf("%d%d",&N,&k)==2){
        for(int i=1;i<=N;i++)   scanf("%d",&pos[i]);
        if(k==1){
            printf("Alice\n");
            continue;
        }
        if(N%2==0){
            int sg=0;
            for(int i=1;i<=N;i+=2)
                sg^=(pos[i+1]-pos[i]-1);
            if(!sg) printf("Bob\n");
            else    printf("Alice\n");
        }
        else{
            int sg=pos[1];
            if(k==2)    sg--;
            for(int i=2;i<=N;i+=2)
                sg^=(pos[i+1]-pos[i]-1);
            if(!sg) printf("Bob\n");
            else    printf("Alice\n");
        }
    }
    return 0;
}