HDU1536 S-Nim

题目链接：https://vjudge.net/problem/HDU-1536

题目大意：

　　给一个数集\(S\)，稍微修改\(Nim\)游戏的规则：原本是能在一堆里面取任意个数的石子，现在变成只能取\(n(n \in S)\)个石子，当没得取石子时判负。对于给定的局面，问先手的胜负条件。

知识点：　　博弈论

解题思路：

　　首先引用贾志豪的论文《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》里面介绍的几个概念、定理：

　　游戏的和：考虑任意多个同时进行的\(SG\)组合游戏，这些\(SG\)组合游戏的和是这样一个\(SG\)组合游戏，在它进行的过程中，游戏者可以任意挑选其中的一个单一游戏进行决策，最终，没有办法进行决策的人输。

　　在我们每次只能进行一步操作的情况下，对于任何的游戏的和，我们若将其中的任一单一\(SG\)组合游戏换成数目为它的\(SG\)值的一堆石子，该单一\(SG\)组合游戏的规则编程取石子游戏的规则（可以任意取，甚至取完），则游戏的和的胜负情况不变。

　　由以上两条得到启发：我们可以把题目中的这个\(S-Nim\)游戏中的每一堆石子看成一个独立的取石子游戏（只能取数集\(S\)中的数目的石子），算出每个独立游戏的\(SG\)值，整个游戏的\(SG\)值即为各个子游戏的\(SG\)值的异或和。

　　而\(SG\)函数有如下性质：

　　（1）对于任意的局面，如果它的\(SG\)值为\(0\)，那么它的任何一个后继局面的\(SG\)值不为\(0\)；

　　（2）对于任意的局面，如果它的\(SG\)值不为\(0\)，那么它一定有一个后继局面的\(SG\)值为\(0\)。

　　由此我们不难推出：当\(SG\)值为\(0\)时，先手必败；否则先手必胜。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int S[105],k;
int sg[10005];
int inp[105];
bool vis[10005];
void dfs(int rt){   //DFS求rt的SG值，注意要加记忆化。
    if(sg[rt]!=-1)  return;
    for(int i=0;i<k&&rt-S[i]>=0;i++){
        if(sg[rt-S[i]]==-1) dfs(rt-S[i]);
    }
    for(int i=0;i<=k;i++)  vis[i]=false;
    for(int i=0;i<k&&rt-S[i]>=0;i++)
        vis[sg[rt-S[i]]]=true;
    for(int i=0;i<=rt;i++){
        if(!vis[i]){
            sg[rt]=i;
            return;
        }
    }
}
int main(){
    int l;
    while(scanf("%d",&k)==1&&k){
        for(int i=0;i<=10000;i++)   sg[i]=-1;
        for(int i=0;i<k;i++)    scanf("%d",&S[i]);
        sort(S,S+k);
        for(int i=0;i<S[0];i++) sg[i]=0;
        int m;
        scanf("%d",&m);
        while(m--){
            scanf("%d",&l);
            int tmp=0;
            for(int i=0;i<l;i++){
                scanf("%d",&inp[i]);
                dfs(inp[i]);
                tmp^=sg[inp[i]];
            }
            if(tmp==0)  printf("L");
            else    printf("W");
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}