CF912D Fishes

题目链接：http://codeforces.com/contest/912/problem/D

题目大意：

　　在一个\(n \times m\)的网格中放鱼（每个网格只能放一条鱼），用一个\(r \times r\)的网随机地捕一次鱼，问如何放置鱼能使得捕到的鱼的期望值最大，求最大值。

知识点：　　优先队列、概率与期望

解题思路：

　　要使捕到鱼的期望值最大，就应该往最有可能被渔网捞到的格子里放鱼。

　　\(P(某个格子被捞到）= N_1(渔网能捞到这个格子的放置方案数)/N_2(渔网总放置方案数),\)

　　\(N(渔网总放置方案数) = (n-r+1)\times(m-r+1)\)

　　而要求\(N_1\)，我们可以先算出最左边一列和最上边一行的各个格子对应的\(N_1\)，\(N_1(x,y) = N_1(x,0) \times N_1(0,y)\)。于是我们可以从最中间的格子开始（直觉告诉我们：最中间的格子总是最有可能被捞到）,用一个优先队列维护，每次都往上下左右四个方向拓展，找出前 \(k\) 个最有可能被捞到的位置所对应的期望值，加起来所得到的总和即为答案。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn = 1e5+5;
const int cx[4]={1,-1,0,0},cy[4]={0,0,1,-1};

int line[maxn],col[maxn];
struct node{
    int x,y;
    double z;
    friend bool operator <(const node &a,const node &b){
        return a.z<b.z;
    }
};
map<pair<int,int>,int> vis;
priority_queue<node> q;

int main(){
    int n,m,r,k;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&k);
    for(int i=1;i<=(n+1)/2;i++){
        if(i<=n-r+1)    line[i]=min(i,r);
        else    line[i]=line[i-1];
    }
    for(int i=n,j=1;i>(n+1)/2;i--,j++)
        line[i]=line[j];

    for(int i=1;i<=(m+1)/2;i++){
        if(i<=m-r+1)    col[i]=min(i,r);
        else    col[i]=col[i-1];
    }
    for(int i=m,j=1;i>(m+1)/2;i--,j++)
        col[i]=col[j];

    double tot=(double)(n-r+1)*(m-r+1),ans=0.0;
    node now,next;
    now.x=(n+1)/2,now.y=(m+1)/2;
    now.z=(double)line[now.x]*col[now.y]/tot;
    q.push(now);
    vis[make_pair(now.x,now.y)]=1;
    while(k--){
        now=q.top();
        q.pop();
        ans+=now.z;
        for(int i=0;i<4;i++){
            int nx=now.x+cx[i],ny=now.y+cy[i];
            if(nx>0&&nx<=n&&ny>0&&ny<=m&&!vis[make_pair(nx,ny)]){
                next.x=nx,next.y=ny,next.z=(double)line[next.x]*col[next.y]/tot;
                q.push(next);
                vis[make_pair(nx,ny)]=1;
            }
        }
    }
    printf("%.10lf\n",ans);

    return 0;
}