《有关概率和期望问题的研究》读书笔记（完成度：40%）
一、链接：
二、数学基础：
1、概率的运算
a. 两个互斥事件，发生任何一个事件的概率等于两个事件的概率之和。
b. 计算不相关的事件或者分步进行的事件的合成的概率，可使用乘法原则。
c. 对于一般情况，\(P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)\) .
2、期望的运算
a. 期望的定义：\(E(\varphi) = \sum \varphi_{i}P_{i}\) .
b. 期望有“线性”性质：对于两个不相关的随机变量 \(\varphi\) 和 \(\xi\)，有
\(E(\varphi \pm \xi) = E(\varphi) \pm E(\xi); E(\varphi\xi) = E(\varphi)E(\xi); E(\varphi/\xi) = E(\varphi)/E(\xi)\) .
c. 在某些情况下，期望可以表示成一个无穷的等比数列，然后利用极限的思想来求（不理解）。
三、常用方法：
方法1 直接计算
即直接推导公式解决问题。
例题：百事世界杯之旅
思路：设此时手上有 \(k\) 个名字，那么你要得到第 \(k+1\) 个名字所需购买的饮料瓶数的期望值为 \(E_k\). 易知：
\(\frac{n-k}{n}E_k = 1\)
\(E_k = \frac{n}{n-k}\)
由此我们便不难推出把 \(n\) 个球星名字凑齐所需饮料数的期望值：
\(E = n(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n})\) .
方法2 动态规划
利用期望运算的一些性质，特别是上文提到的“线性”性质和期望的定义，我们可以在期望和概率之间建立一定的递推关系，通过动态规划解决问题，特别是概率和期望的最值问题。
关键：合理的选择状态和高效的状态转移方程，特别是状态的选择。选择合适的状态不仅可以提高效率，而且可以保证动态规划所必需的无后效性。
