Gym100548F Color

题目链接：https://vjudge.net/problem/Gym-100548F

题目大意：

　　n 朵花，按顺序排成一排。从 m 种颜色中选出 k 种颜色，给这 n 朵花染色，要求相邻的花颜色不同。问共有多少种染色方案？

　　\((1 \le n,m \le 10^{9}, 1 \le k \le 10^{6}, k \le n,m)\)

知识点：　　快速幂算法、组合数、容斥原理、逆元。

解题思路：

　　第一步：从 m 种颜色中选出 k 种颜色，方案数：\(C_m^k\)；

　　第二步：将这 k 种颜色合理地安排到每一朵花上，要求每一种颜色都有用到，而且相邻的花颜色不同。在此我们设 \(G(x)\) 为将 x 种颜色合理地安排到每一朵花上，只要求相邻的花颜色不同，不要求每一种颜色都有用到。则 \( G(x) = x(x-1)^{n-1}\) 。根据容斥原理，我们可得第二步的方案数为：

　　\( C_{k}^{k}G(k) - C_{k}^{k-1}G(k-1) + ... +(-1)^{k-2}G(2)\)；

　　则总的方案数为：

　　\(C_m^k\times[C_{k}^{k}G(k) - C_{k}^{k-1}G(k-1) + ... +(-1)^{k-2}G(2)]\)

  \(=C_m^k\times[C_{k}^{k}k(k-1)^{n-1} - C_{k}^{k-1}(k-1)(k-2)^{n-1} + ... +(-1)^{k-2}\times2]\).

AC代码：

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e6 + 5;
ll inv[maxn], C_k[maxn];

ll exp_mod(ll a, ll b) {    //快速幂求a^b%mod
    ll ret = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ret = (ret*a) % mod;
        a = (a*a) % mod;
        b >>= 1;
    }return ret;
}
void init() {            //逆元表
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i<maxn; i++)
        inv[i] = exp_mod((ll)i, mod - 2) % mod;
}
void find_Ck(ll k) {    //求出C(K, 0,1,...k)
    C_k[0] = 1;
    for (ll i = 1; i <= k; i++) {
        C_k[i] = ((C_k[i - 1] * (k - i + 1) % mod)*inv[i]) % mod;
    }
}
int main() {
    //    freopen("in.txt","r",stdin);
    init();
    int T;
    ll n, m, k;
    scanf("%d", &T);
    for (int t = 1; t <= T; t++) {
        scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &k);
        find_Ck(k);
        ll ans1 = 0;
        ll sign = 1;
        for (ll i = k; i >= 1; i--, sign = -sign)        //求C(k,k)*k*(k-1)^(n-1) - C(k,k-1)*(k-1)*(k-2)^(n-1) ......
            ans1 = (ans1 + ((C_k[i] * i%mod)*exp_mod(i - 1, n - 1) % mod)*sign + mod) % mod;
        ll ans2 = 1;
        for (ll i = 1; i <= k; i++) {    //C(m,k)
            ans2 = (ans2*(m - i + 1) % mod)*inv[i] % mod;    //注意除法取余运算要用逆元
        }
        printf("Case #%d: %lld\n", t, ans1*ans2%mod);
    }
    return 0;
}