XJOI 3876 二进制矩阵

题意

定义二进制矩阵为每个元素都是 \(0\) 或者 \(1\) 的矩阵
现在有一个二进制矩阵，但是有些格子缺失了，用'?'表示
现在知道这个矩阵每行的信息
并且知道矩阵每列的信息，但是不知道具体这些列是对应这个矩阵的哪一列

给每个缺失的格子补上后，求满足条件的字典序最小的二进制矩阵
矩阵的字典序为将每行的字符拼接后的字符串代表的字典序

保证有解

输入格式

第一行输入两个整数 \(n,m\) 表示二进制矩阵的行数和列数 \((1≤n,m≤30)\)
接下来 \(n\) 行每行 \(m\) 个字符，第 \(i\) 行描述矩阵的第 \(i\) 行的信息
接下来 \(m\) 行每行 \(n\) 个字符，第 \(i\) 行描述矩阵某一列的信息

输出格式

输出一个字符矩阵表示字典序最小的矩阵

样例1

2 3
10?
?11
01
10
1?

101
011

样例2

3 1
0
?
1
0?1

0
0
1

样例3

2 2
10
01
10
01

10
01

样例4

4 3
??0
11?
?01
1?1
1???
?111
0?1?

010
110
101
101

分析

把'?'变成 \(0\) 肯定比变成 \(1\) 更优，前面的变成 \(0\) 肯定比后面的变成 \(0\) 更优。
设矩阵 \(A\) 为确定行的矩阵，矩阵 \(B\) 为确定列的信息，但不确定列的位置的矩阵。
我们从上到下，从左到右枚举矩阵 \(A\) 中的每一个'?'，先假设其为 \(0\) ，检验是否合法，如果合法，那么就把当前的'?'设为 \(0\) ；如果不合法，就把它设为 \(1\) 。然后继续对下面的'?'执行同样操作。

那么如何验证一个'?'的值是否合法？
我们建立二分图，图左侧为 \(i(i\in [1,m])\) ，图右侧为 \(j(j\in [1,m])\) ，枚举 \(A\) 的每一行和 \(B\) 的每一列的信息，如果某行 \(A_i\) 能和某列 \(B_j\) 匹配，就连边 \((i,j)\) 。最后求出二分图的最大匹配，如果等于完美匹配（即匹配边数等于 \(m\) ），那么就合法；否则不合法。

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define maxn 103
using namespace std;
int n,m,a[maxn][maxn],b[maxn][maxn];
char t[maxn];
namespace BINGRAPH{
	vector<int> g[maxn];
	int c[maxn];
	bool vis[maxn];
	bool dfs(int u){
		for(int i=0;i<int(g[u].size());i++){
			int v=g[u][i];
			if(vis[v])continue;
			vis[v]=1;
			if(!c[v]||dfs(c[v])){
				c[v]=u;
				return 1;
			}
		}
		return 0;
	}
	int match(){
		int ret=0;
		for(int i=m;i>=1;i--){
			for(int j=1;j<=m;j++)vis[j]=0;
			if(dfs(i))ret++;
		}
		return ret;
	}
	void build(){
		for(int i=1;i<=m;i++){
			g[i].clear();
			c[i]=0;
			for(int j=1;j<=m;j++){
				bool flag=1;
				for(int k=1;k<=n;k++){
					if(a[k][i]==-1||b[j][k]==-1)continue;
					if(a[k][i]!=b[j][k]){flag=0;break;}
				}
				if(flag)g[i].push_back(j);
			}
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%s",t+1);
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(t[j]=='?')a[i][j]=-1;
			else if(t[j]=='1')a[i][j]=1;
			else a[i][j]=0;
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%s",t+1);
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(t[j]=='?')b[i][j]=-1;
			else if(t[j]=='1')b[i][j]=1;
			else b[i][j]=0;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(a[i][j]==-1){
				a[i][j]=0;
				BINGRAPH::build();
				if(BINGRAPH::match()!=m)a[i][j]=1;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			putchar(a[i][j]+'0');
		}
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}