XJOI 3870 游戏的期望

题意

有一个游戏平板上面有\(n* m\)个格子，一开始每个格子都是关闭的，每个格子里面都有一个标记
已知每种标记恰好出现两次，也就是一共有\(n∗ m/2\)种标记
规定一次移动为依次(one by one不是同时)打开一对格子查看里面的标记，如果标记不一样，格子会自动关闭，但是你的记忆是超强了，看过了就不会忘，如果标记是一样的，格子从此就一直保持打开状态，当所有格子都打开时游戏结束
请算出游戏结束的最少期望步数

输入格式

输入一行包含两个整数\(N,M (1≤N≤50,1≤M≤50)\)
\(N∗ M\)是偶数

输出格式
输出一个浮点数.误差不超过\(1e−9\)

样例1

1 2

1.0

样例2

2 2

2.6666666666666665

样例3

2 3

4.333333333333334

样例4

4 4

12.392984792984793

分析

这是一道期望dp（概率dp）题。
设 \(dp[i][j]\) 表示还有 \(i+j\) 张牌未匹配，已翻开 \(i\) 张，未翻开 \(j\) 张。

状态转移分类讨论：

从剩下 \(j\) 张牌中选择一张 \(A\)，

1.恰好与已翻开的i张中的一张 \(B\) 匹配，则翻开 \(B\)；

2.未与已翻开的匹配，则再随机翻一张 \(B\) ，

(1) \(A,B\) 刚好匹配；

(2) \(A,B\)不匹配，也没有与已翻开的匹配；

(3) \(B\) 与已翻开的 \(i\) 张中的一张 \(C\) 匹配，则在下一轮中翻开 \(B,C\) 。

转移方程：

设 \(p\) 为1.情况的概率， \(b\) 为2.(1)情况概率， \(c\) 为2.(2)情况概率， \(d\) 为2.(3)情况概率，有$$dp[i][j]=p(1+dp[i-1][j-1])+(1-p)(b(1+dp[i][j-2])+c(1+dp[i+2][j-2])+d*(2+dp[i][j-2]))$$

另外，注意精度问题

Code

#include<cstdio>
#define maxn 2502
using namespace std;
double dp[maxn][maxn];
//期望dp是倒推的
int main(){
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	n*=m;
	for(int j=0;j<=n;j++){
		for(int i=0;i<=n;i++){
			if((!i&&!j)||(i>j)||(i+j>n)||((j-i)&1))continue;
			double p=double(i)/j;
//p:从剩下j张未翻开的牌中选择一张A，恰好与已翻开的i张中的一张B匹配，则翻开B
			if(j&&i){
				dp[i][j]+=p*(1+dp[i-1][j-1]);
			}
			if(j>=2){
				double b=1./(j-1),c=double(j-i-2)/(j-1),d=1-b-c;
//b:从剩下j张未翻开的牌中选择一张A，未匹配，再随机翻一张B，A,B刚好匹配
//c:从剩下j张未翻开的牌中选择一张A，未匹配，再随机翻一张B，无任何匹配
//d:从剩下j张未翻开的牌中选择一张A，未匹配，再随机翻一张B，B与已翻开的i张中的一张C匹配，则在下一轮中翻开B,C 
				dp[i][j]+=(1-p)*(b*(1+dp[i][j-2])+c*(1+dp[i+2][j-2])+d*(2+dp[i][j-2]));
			}
		}
	}
	printf("%.11lf",dp[0][n]);
	return 0;
}