求解时间复杂度递归式
(一)主定理
对于 \(T(N)=a*T(N/b)+\Theta(N^d)\)
且\(T(1)\)为常数,有
-
\(\log_b a>d \Rightarrow\) 复杂度为 \(\Theta(N^{\log_b a})\)
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\(\log_b a=d \Rightarrow\) 复杂度为 \(\Theta(N^d* \log N)\)
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\(\log_b a<d \Rightarrow\) 复杂度为 \(\Theta(N^d)\)
加强版
以下 \(O(N)\) 为复杂度上界, \(\Theta(N)\) 为复杂度确界, \(\Omega(N)\) 为复杂度下界。
对于 \(T(N)=a*T(N/b)+f(N)\)
且\(T(1)\)为常数,有
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\(f(N)=O(N^d),\log_b a>d \Rightarrow\) 复杂度为 \(\Theta(N^{\log_b a})\)
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\(f(N)=\Theta (N^d \log^k n),k\geq 0,\log_b a=d \Rightarrow\) 复杂度为 \(\Theta(N^d \log^{k+1} N)\)
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\(f(N)=\Omega (N^d),\log_b a<d \Rightarrow\) 复杂度为 \(\Theta(N^d)\)
例题
(以下\(T(1)\)都为常数)
1. 设某算法时间复杂度可表示为\(T(n)=9T(n/3)+n^2\),求该算法时间复杂度。
解:
由题意得:\(a=9,b=3,d=2\)
所以\(\log_ba=\log_39=2=d\)
所以是第二种情况,复杂度为\(\Theta(n^2\log n)\)
2. 设某算法时间复杂度可表示为\(T(n)=T(2n/3)+n\),求该算法时间复杂度。
解:
由题意得:\(a=1,b=\frac{3}{2},d=1\)
所以\(\log_ba=\log_{\frac{3}{2}}1=0<d=1\)
所以是第三种情况,复杂度为\(\Theta(n)\)
3. 设某算法时间复杂度可表示为\(T(n)=3T(\sqrt n)+\log n\),求该算法时间复杂度。
解:
\(T(n)=3T(n^{\frac{1}{2}})+\log n\)
\(\Leftrightarrow T(2^n)=3T(2^{\frac{n}{2}})+n\)
设\(t(n)=T(2^n)\),则\(t(n)=3t(n/2)+n\)
由题意得:\(a=3,b=2,d=1\)
所以\(\log_ba=\log 3≈1.58>d=1\)
所以是第三种情况,\(t(n)\)的复杂度为\(O(n^{\log 3})\)
所以\(T(n)\)的复杂度为\(\Theta(\log^{\log 3}n)\)。
4. 设某算法时间复杂度可表示为\(T(n)=2T(n/5)+\log n\),求该算法时间复杂度。
解:
易得\(\log n\)的一个上界是\(\Theta(n^k)(0<k<\log_5 2)\),那么是第一种情况,\(T(n)\)的复杂度为\(\Theta(n^{\log_5 2})\)。
(二)递归树
考虑递归式$$T(n)=2T(n/2)+n^2$$
可将其化为$$T(n)=T(n/2)+T(n/2)+n^2$$
于是可以画一棵递归树,对于一个节点,节点的值为非函数项,再将式中每一个函数项向下迭代,式中有几个函数项,递归树就是几叉树,且有\(\log n\)层,把每一行所有节点的和写在右边,如下图所示。
然后,右边所有数之和(一个含\(n\)的表达式)即为该式的复杂度。
如图,该图中右边所有数之和为$$(1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})2+(\frac{1}{2})3+...)* n2=2n2$$
所以,\(T(n)=T(n/2)+T(n/2)+n^2\)的时间复杂度为\(\Theta(n^2)\)
例题
1. 计算递归式\(T(n)=T(n/3)+T(2n/3)+n\)的复杂度。
解:
递归树如下图所示
右边所有数之和为$$(\log_{\frac{3}{2}}n+1)*n$$
所以,\(T(n)\)的时间复杂度为\(\Theta(n\log n)\)