最长上升子序列

1. dp \(O(n^2)\)

对于序列中的每个元素，找到它之前比它小的数进行转移。设\(dp[i]\)表示以第\(i\)个数结尾的\(LIS\)的长度，则转移方程：$$dp[i]=max_{j\in [1,i)}(dp[j])+1$$

Code

for(int i=1;i<=n;i++){
	dp[i]=1;
	for(int j=1;j<i;j++){
		if(a[j]<a[i]&&dp[j]+1>dp[i])dp[i]=dp[j]+1;
	}
}

2. 栈+二分 \(O(n\log n)\)

我们模拟一个栈\(S\)。对于一个元素\(a_i\)，如果它大于栈顶元素，则将其压入栈中；否则，二分查找栈中第一个比它大的元素\(S_j\)，然后将\(S_j\)换成\(a_i\)。那么，栈顶指针\(top\)即为\(LIS\)的长度。

Code

1.

for(int i=1;i<=n;i++){
	if(a[i]>S[top])S[++top]=a[i];
	else{
		int l=1,r=top,mid;
		while(l<=r){
			mid=(l+r)>>1;
			if(S[mid]<a[i])l=mid+1;
			else r=mid-1;
		}
		S[l]=a[i];
	}
}

2.

for(int i=1;i<=n;i++){
	if(a[i]>S[top])S[++top]=a[i];
	else{
		int t=upper_bound(S+1,S+top+1,a[i])-S;
        S[t]=a[i];
	}
}

3. 数据结构 \(O(n\log n)\)

使用线段树或树状数组维护最大值。