Codeforces 402 and 403 (Div. 2 and 1)
402 C
题意
给你 \(n\) ，要你构造一张有 \(n\) 个顶点的图，要求满足下列条件：
- 恰有 \(2n+p\) 条边
- 无自环和重边
- 对于所有的 \(k\in [1,n]\) ，任意包含 \(k\) 个节点的子图至多包含 \(2k+p\) 个节点。
\((5 ≤ n ≤ 24;p ≥ 0)\)
Examples
Input
1
6 0
Output
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
2 3
2 4
2 5
2 6
3 4
3 5
3 6
解
暴力枚举 \(1-n\) ，枚举到 \(i\) 时第 \(i\) 个节点向所有节点连边，如果超过限制，则向 \(1-\)不超过限制的第一个点 连边。
403 D
题意
一个由数对组成的序列，长度为 \(k\) ，设每个元素为 \((a_i,b_i)(1\le i\le k)\) ，满足：
- \(1 ≤ a_1 ≤ b_1 < a_2 ≤ b_2 < ... < a_k ≤ b_k ≤ n\) ， \(n\) 是一个给出的正整数；
- 所有的 \(b_1 - a_1, b_2 - a_2, ..., b_k - a_k\) 是不同的。
求满足条件的序列的个数。有 \(T\) 组测试数据。
\((1 ≤ T ≤ 2·10^5,1 ≤ k ≤ n ≤ 1000)\)
Examples
Input
6
1 1
2 1
2 2
3 1
3 2
3 3
Output
1
3
0
6
2
0
解
设序列 \(c\) ， \(c_i=b_i-a_i+1\) 。
设 \(dp[i][j]\) 表示序列 \(c\) 的前 \(i\) 个元素的前缀和为 \(j\) 。
即要么将 \(i\) 个元素加 \(1\) ，要么将 \(i\) 个元素加 \(1\) 之后新添加一个 \(1\) ，使序列长度增加 \(1\) 。
转移： \(dp[i][j]=dp[i][j-i]+dp[i-1][j-i]\)
统计答案： \(ans[k][n]=\sum_{i=k}^{n}dp[k][i]*C[n-i+k][k]*k!\)
402 E
题意
有一个 \(n×n\) 的矩阵，满足以下条件：
- \(a[i][j]≥0\)
- \(\sum_{i=1}^n a[i][i]>0\)
问该矩阵能否经过若干次乘法，使得每个元素都为正数。
\((2\le n\le 2000)\)
Examples
Input
2
1 0
0 1
Output
NO
Input
5
4 5 6 1 2
1 2 3 4 5
6 4 1 2 4
1 1 1 1 1
4 4 4 4 4
Output
YES
解
首先明确矩阵可以等价地转化为01矩阵。
然后我们把矩阵看成有向图的邻接矩阵，那么设 \(b=a^k,b[i][j]\) 就表示从节点 \(i\) 到 \(j\) 走 \(k\) 步是否能到达。由 \(\sum_{i=1}^n a[i][i]>0\) 可知该图有自环。
我们发现如果图是强连通的，那么必定满足题意。
于是tarjan一遍即可。
403 E
题意
$$\color{white}{???}$$
Examples
Input
5
1 1 1 1
4 2 1 1
3
Output
Blue
3
Red
1 3
Blue
1 2
Red
2
